2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学月考试卷及答案（2024.10）.docx

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同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．集合，，若，则________．

2．关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为________．

3．集合，，则________．

4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________．

5．若函数则不等式的解集为________．

6．对于实数，，“”是“且”的________条件．

7．为定义在上的奇函数，当时，，则时，________．

8．设的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和

是________．

9．已知等比数列满足，，则________．

10．对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围

是________．

11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．

12．记，若存在实数、，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是________．

二、选择题（本大题满分分）

13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已知，则的学生人数为（）

A．5 B．10 C．20 D．30

14．若偶函数在区间上严格增加，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

15．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（）

A． B．C． D．

16．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（）

（1）；（2）

（3）；（4）当时，

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题（本大题满分78分）

17．（本题分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．

（1）求点到平面的距离；

（2）求异面直线与所成的角．

18．（本题分）已知中，三个内角，，的对边分别为，，，，外接圆半径．

（1）求的度数；

（2）求面积的最大值．

19．（本题分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．

（1）求频率分布直方图中实数，的值；

（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布和数学期望．

20．（本题分）若椭圆的右焦点为，过的直线交于，两点．

（1）若直线垂直于轴，求线段的长；

（2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；

（3）若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程．

21．（本题分）设、是定义域为的函数，当时，记．

（1）已知在区间上严格增，且对任意，，，有，证明：函数在区间上严格增；

（2）已知，且对任意，，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；

（3）已知，，，且对任意，，当时，有，证明：．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.充分不必要;7.;8.;9.;10.；11.12.

12．记，若存在实数、，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】在区间上是严格增函数,

在上恒成立,可得成立,

又在上递减,在(上单调递增,

,,故.故答案为:.

二、选择题

13.D14.A15.16.B

16．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（）

（1）；（2）

（3）；（4）当时，

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】（1）正确;因为令,在上是增函数,

当时,,即.

（2）错误；因为令

时,单调递增,时,单调递减.与无法比较大小.

（3）错误；因为令,

时,在单调递减,时,在单调递增,

当时,

（4）正确;因为时,单调递增,又（1）正确,

,故选B.

三．解答题

17.（1）（2