上海市华东师范大学附属东昌中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（解析版）.docx

华东师范大学附属东昌中学

2024学年度第一学期期中考试高三数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1.函数的定义域为_______．

【答案】0,+∞

【解析】

【分析】

将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.

，所以，.

因此，函数定义域为0,+∞.

故答案为：0,+∞.

2.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由同角三角函数的基本关系将弦变切即可得答案.

由，

故答案为：.

3.已知函数，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的定义计算可得.

因为，所以.

故答案为：

4.函数的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】分三种情况，将原函数等价为分段函数，借助图象可得最小值.

当时，，

当时，，

当时，，

即，

由图象可得函数的最小值为.

故答案为：.

5.已知向量，，则在方向上的数量投影是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可.

由向量，，

则，，

又在方向上的数量投影为，

故答案为：.

6.若“”是假命题，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.

解：由题意，命题，是假命题，

所以，二次函数与轴有交点，

所以，，即，解得或.

所以，实数的取值范围为

故答案：

7.在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则______.

【答案】

【解析】

【分析】结合三角形的面积公式求，再根据二倍角的余弦公式即可求解.

由，又，，

则可得，

又，

故答案为：.

8.用函数的观点：不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解

由不等式可得，

令函数，定义域为，

由于，均为定义域内的增函数，

所以定义域内单调递增，且，

对应不等式即为，解之得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

9.记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；

解：因为，（，）

所以最小正周期，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时；

故答案为：

10.已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数的取值范围是______________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，作出函数的图像，求出有5个交点时，值的个数以及范围，转化交点的个数及交点横坐标范围，数形结合，求出的范围.

令，作出函数的图像，如下图所示：

当时，没有实数解，

当或，有1个实数解，

当时，有3个实数解，

当时，有2个实数解，

要使恰有5个不同的实数根，

则在各有一个解，

即在各有一个交点，

所以实数的取值范围是.

故答案为:,

【点睛】本题考查复合函数零点个数求参数，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，属于较难题.

11.已知平面向量，对任意实数t，都有，成立.若，，，则=___________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，可证明即，，则四点在以为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果.

设，

则，

即，

则分别在所在的直线上，

，

因为

所以

因为垂线段距离最短，

即为点到的垂线段长度，

即，同理，

所以四点在以为直径的圆上，

而，

，

即，

由正弦定理可得三角形外接圆的直径，

即四边形外接圆的直径为，

所以

故答案为：.

【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

12.设，集合，对于中的任意两个元素、，定义，设、，若，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】由，可得，分析得中有个，个，进而由可得最小值.

设，，

因为，所以，

所以，

，

由，得，

所以中有个，个，

.

注意到只有时，，否则，

而中有个，个，所以满足的最多有个，

所以，

故答案为：.

【点睛】关键点睛，本题解题的关键是对新定义的理解，得到，再进行运算.

二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）.每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的性质判断即可.

因为,是定义在上的偶