新高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲13椭圆学案含解析.doc

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椭圆

命题点1椭圆的定义与方程

1．椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

2．求解椭圆的标准方程要注意焦点的位置．

[高考题型全通关]

1．(2020·三明检测)已知P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2＝60°,则△F1PF2面积为()

A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)

A[法一：由椭圆的标准方程可得a＝5,b＝3,∴c＝4.

设|PF1|＝t1,|PF2|＝t2,

由椭圆的定义可得t1＋t2＝10. ①

∵在△F1PF2中,∠F1PF2＝60°,

∴根据余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝|2c|2＝64,

整理可得teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2)－t1t2＝64. ②

把①两边平方得teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2)＋2t1t2＝100, ③

由③－②得t1t2＝12,∴Seq\s\do6(△F1PF2)＝eq\f(1,2)t1t2·sin∠F1PF2＝3eq\r(3).故选A．

法二：由于椭圆焦点三角形的面积公式为S＝b2taneq\f(θ,2),故所求面积为9tan30°＝3eq\r(3).故选A．]

2．(2020·绵阳模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq\r(3)b,则椭圆的标准方程为()

A．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1

C．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1

A[由左焦点为F1(－2,0),可得a2－b2＝4,过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2),圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\f(\f(2\r(3),3),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)))＝1.

由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq\r(3)b,可得2eq\r(b2－1)＝eq\r(3)b,

解得b＝2,a＝2eq\r(2),则椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.

故选A．]

3．[多选](2020·烟台模拟)已知椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,6)＝1上有A,B,C三点,其中B(1,2),C(－1,－2),tan∠BAC＝eq\f(9,2),则下列说法正确的是()

A．直线BC的方程为2x－y＝0

B．kAC＝eq\f(1,2)或4

C．点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)，\f(22,9)))

D．点A到直线BC的距离为eq\f(4\r(5),9)

AD[设直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1＞θ2,

由tan∠BAC＝eq\f(9,2)＞0,知∠BAC＜eq\f(π,2),

则数形结合易知当θ1－θ2＝∠BAC时,才能满足题意,故tan(θ1－θ2)＝eq\f(9,2),

即eq\f(kAB－kAC,1＋kAB·kAC)＝eq\f(9,2),又kAB·kAC＝eq\f(yA－2,xA－1)·eq\f(yA＋2,xA＋1)＝eq\f(y\o\al(2,A)－4,x\o\al(2,A)－1)＝eq\f(6－2x\o\al(2,A)－4,x\o\al(2,A)－1)＝－2,

所以kAB－kAC＝－eq\f(9,2),结合kAB·kAC＝－2,

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAC＝4，,kAB＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAC＝\f(1,2)，,kAB＝－4.))

而当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAC＝\f(1,2)，,kAB＝－4))时,数形结合易知∠BAC≠θ1－θ2,且∠BAC＞eq\f(π,2),故舍去．

当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kA