解答题：空间向量与立体几何（7大题型）-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）.docx

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解答题：空间向量与立体几何

题型一：空间异面直线夹角的求解

（23-24高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，.

(1)求证：平面；

(2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）因为底面是平行四边形，且是等边三角形，

所以四边形是菱形，则有，

又平面，平面，所以，

又，平面，平面，所以平面；

（2）设，

∵是等腰三角形，

∴，，

以O为坐标原点，射线，分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系，

如图，

则，，B1,0,0，，

所以，，

设与所成角为，

所以，

即与所成角的余弦值为.

1、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

3、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.

1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.

(1)求的值；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）中，，，，

根据余弦定理，.

（2）如图，以点为原点，为轴和轴，

过点作为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

,，

设异面直线与所成角为，

则

所以异面直线与所成角的余弦值为.

2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）由题知面，又面，所以，

又，，面，所以面，

又面，所以，

又，所以四边形是正方形，得到，

又，面，所以平面.

（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，

则，，

得到，，

设直线与所成角为，则，

所以直线与所成角的余弦值为.

题型二：空间直线与平面夹角的求解

（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，

??

(1)求证：平面⊥平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）因为平面平面，且平面平面，

且，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

又，且，，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）

取中点为，连接，，

又因为，所以，则，

因为，所以，则，

以O为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设是平面的一个法向量，

则，得，

令，则，，所以，

设与平面所成的角为，

则，

所以与平面所成的角的正弦值为.

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=?l，其中θ是斜线与平面所成的角，?是垂线段的长，

方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，

平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.

1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，，，，，为中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）连接，

因为，为中点，所以，

因为，所以，所以，

又，所以，所以，

又，平面，所以平面；

（2）以为坐标原点，所在直线为，

过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，

则，

则，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

所以平面的一个法向量为，

又，所以，

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

2．（24-25高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点