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专题15初中数学重要的定理和公式的推理证明问题

1.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图，,

求证：

方法一

证明：如图，过点A作

方法二

证明：如图，过点C作

2.知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．

∵，

∴，

∴

（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．

（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

3．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

证法2：如图，

∵∠A＝76°，∠B＝59°，

且∠ACD＝135°（量角器测量所得）

又∵135°＝76°+59°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

下列说法正确的是（）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B．证法1用严谨的推理证明了该定理

C．证法2用特殊到一般法证明了该定理

D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

4.用1876年美国第十七任总统加菲尔德Garfield的方法证明勾股定理

专题15初中数学重要的定理和公式的推理证明问题（解析版）

1.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图，,

求证：

方法一

证明：如图，过点A作

方法二

证明：如图，过点C作

【答案】答案见解析

【解析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为．

证明：过点作，

则，．两直线平行，内错角相等）

点，，在同一条直线上，

．（平角的定义）

．

即三角形的内角和为．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

2.知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．

∵，

∴，

∴

（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．

（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

【答案】（1），证明见解析（2）米

【解析】【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE=csinB，

AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，从而得出结论；

解决问题：由拓展探究知，代入计算即可．

【小问1详解】

（拓展探究）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．

在RtΔABE中，，

同理：，

．

．

．

．

．

【小问2详解】

（解答问题）解：在ΔABC中，

∴

解得：

答：点A到点B的距离为m．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键．

3．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

证法2：如图，

∵∠A＝76°，∠B＝59°，

且∠ACD＝135°（量角器测量所得）

又∵135°＝76°+59°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

下列说法正确的是（）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B．证法1用严谨的推理证明了该定理

C．证法2用特殊到一般法证明了该定理

D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

【答案】B

【解析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．

∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形