专题48 中考数学数形结合思想(解析版) .pdfVIP

专题48中考数学数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研

究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数

学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借

助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二

种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要

给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法

(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合

思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型

（1）实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函

数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)

解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧

密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,

得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置

密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就

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是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它

的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象

概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如

ACBCABCCBBDABADD

图．在Rt△中，∠＝90°，∠＝30°，延长使＝，连接，得∠＝15°，所以tan15°

ᵃᵃ12−3

===√=2−3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）

√

ᵃᵃ2+3(2+3)(2−3)

√√√

1

A．2+1B．2−1C．2D．

√√√

2

【答案】B

ACBCABCCBBDABADDAC

【分析】在Rt△中，∠＝90°，∠＝45°，延长使＝，连接，得∠＝22.5°，设＝

BCABBDᵃᵃ

＝1，则＝=2，根据tan22.5°=计算即可．

√

ᵃᵃ

ACBCABCCBBDAB