专题5.6 平行线中的综合（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）.pdfVIP

专题5.6平行线中的综合

【典例1】已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．

（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数

（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试

证明你的结论

（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，

直接写出它们之间的数量关系．

【思路点拨】

（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即

可；

（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可；

（3）分三种情况讨论①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③

当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．

【解题过程】

解：（1）过P作PO∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PO∥CD，

∵∠A＝20°，当点P在线段EF上运动时，

∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，

∵∠APC＝70°，

∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°

（2）∠A+∠C＝∠APC，

证明：过P作PO∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PO∥CD，

∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，

∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C

（3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，

理由是：过P作PO∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PO∥CD，

∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，

∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，

即∠A﹣∠C＝∠APC

②当点P在线段FE的延长线上运动时，新的相等关系为∠C＝∠APC+∠A．

理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB＝∠APC+∠A．

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠PQB，

∴∠C＝∠APC+∠A．

③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C＝∠APC，

证明：过P作PO∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥PO∥CD，

∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，

∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C

综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立．

1．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．

（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数

（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．

1

（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度

2

数．

2．（2021春•濮阳县期中）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数

（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说

明理由

（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于

点G，用含有α的式子表示∠G的度数．

3．（2021春•鼓楼区校级期中）如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB＝90°．

（1）求证：AB∥CD

（2）如图2．射线BF、DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探决∠CDF与∠CDE的比值，

并说明理由

（3）若点H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠B