专题09数列之证明恒成立问题-2022年高考数学大题保分专练(全国通用).docx

数列之证明恒成立问题

一、解答题(共30题)

1．已知公比的等比数列和等差数列满足：，，其中，且是和的等比中项．

（1）求数列与的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于方程，解出的值，可求得的值，即可得出数列与的通项公式；

（2）求得，利用错位相减法可求得，分析可知数列为单调递增数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

因为，，，且是和的等比中项，

所以，整理可得，解得或.

若，则，可得，不合乎题意；

若，则，可得，合乎题