2025高考数学一轮复习题组层级快练44含答案.doc

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题组层级快练(四十四)

一、单项选择题

1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A．2 B．2eq\r(2)

C．4 D．4eq\r(2)

答案B

解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq\r(2)，由题意得2π×eq\r(2)＝πl，解得l＝2eq\r(2).故选B.

2．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为()

A.eq\f(20,3)cm B．15cm

C．10eq\r(3)cm D．20cm

答案B

解析设玻璃球的半径为rcm，则πr2·10＋eq\f(4,3)πr3＝πr2·2r，解得r＝15.故选B.

3．正六棱柱的底面边长为2，它最长的一条体对角线长为2eq\r(5)，则它的表面积为()

A．4(3eq\r(3)＋4) B．12(eq\r(3)＋2)

C．12(2eq\r(3)＋1) D．3(eq\r(3)＋8)

答案B

解析正六棱柱的底面边长为2，最长的一条体对角线长为2eq\r(5)，则高为eq\r(（2\r(5)）2－（2×2）2)＝2，它的表面积为S表＝2S底＋6S矩形＝2×6×eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(π,3)＋6×2×2＝12eq\r(3)＋24＝12(eq\r(3)＋2)．

4．(2024·南京六校联考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造成一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出该金字塔模型(不计损耗)的个数为()

A．3 B．4

C．5 D．6

答案B

解析由题意可知该金字塔模型的高h＝4，则底面边长a＝eq\f(4×2π,4)＝2π，所以该金字塔模型的体积为eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)×4π2×4＝eq\f(16,3)π2.棱长为6的正方体铜块的体积为63＝216，则eq\f(216,\f(16,3)π2)≈4.1，故该铜块最多能铸造出该金字塔模型的个数为4.故选B.

5.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(3)，则这个圆锥的体积为()

A.eq\f(\r(15),3) B.eq\f(32\r(35)π,27)

C.eq\f(128\r(2)π,81) D.eq\f(8\r(3),3)

答案C

解析作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路径为PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4eq\r(3)，由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq\f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝－eq\f(1,2)，

∴∠P′OP＝eq\f(2π,3).

设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝eq\f(2π,3)×4，∴r＝eq\f(4,3)，h＝eq\r(42－r2)＝eq\f(8\r(2),3)，

∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(128\r(2)π,81).

6．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(eq\r(7)≈2.65)()

A．1.0×109m3 B．1.2×109m3

C．1.4×109m3 D．1.6×109m3

答案C

解析由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝eq\f(1,3)×9×(140＋eq\r(140×180)＋180)×106＝60×(16＋3eq\r(7))×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.

7．(2024·北京师范大学附属中学月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥B－AEF的体积为()

A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),6)

C.eq\f(\r(2