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《单调性与最大（小）值》教案

教学目标

1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.

2、掌握增（减）函数的证明和判别.

3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.

教学重难点

重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.

难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.

教学过程

在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。

通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学

生以自己的努力找到了解决问题的方法。

一、情景导入

问题：

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

yyy

111

-11x-11x-11x

-1-1-1

（1）随x的增大，y的值有什么变化？

（2）能否看出函数的最大、最小值？

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x，x，当xx时，都有

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f(x)f(x)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．

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思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与

“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x，x；当xx时，总有f(x)f(x)．注意

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“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量

是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区

间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1任取x，x∈D，且xx；

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○2作差f(x)－f(x)；

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○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；

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○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

4、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法

（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反

比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：

（3.1）函数y=-f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反

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（3.2）函数y(x)恒为正或恒为负时，函数y与yf(x)的单调性相反。