鲁教版七年级数学上册专项素养综合练(四)利用勾股定理解题的五种常见题型练方法课件.ppt

专项素养综合练(四)利用勾股定理解题的五种常见题型

类型一利用勾股定理求三角形中的线段长1.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.(1)求BC的长.(2)求△ABC的面积.(3)判断△ABC的形状.

解析????(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=CD2+BD2=122+92=225=152,

∴BC=15.(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=202-122=256=162,∴AD=16.∵BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25,∴△ABC的面积=?AB·CD=?×25×12=150.(3)∵AC=20,BC=15,AB=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.

2.(方程思想)(2024山东淄博周村期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处.(1)当∠B=28°时,求∠CAE的度数.(2)当AC=6,AB=10时,求线段DE的长.?

解析????(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,∴∠BAC=90°-28°=62°,∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处,∴∠CAE=?∠CAB=?×62°=31°.(2)在Rt△ABC中,AC=6,AB=10,∴BC2=AB2-AC2=102-62=64=82,∴BC=8.∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处,

∴AD=AC=6,CE=DE,∴BD=AB-AD=4,设DE=x,则BE=BC-CE=BC-DE=8-x,∵在Rt△BDE中,DE2+BD2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE的长为3.

类型二利用勾股定理证明线段相等3.如图,在四边形ABFC中,BC为对角线,∠ABC=90°,CD⊥AD,

AD2=2AB2-CD2.求证:AB=BC.

证明∵在△ABC中,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵在△ACD中,CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2,∴AB2+BC2=AD2+CD2,∵AD2=2AB2-CD2,∴AB2+BC2=2AB2-CD2+CD2,即AB2=BC2,∴AB=BC.

类型三利用勾股定理求四边形中的线段长4.(构造法)在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,

四边形的周长为32,求BC和CD的长.?

解析如图,连接BD.∵AB=AD,∠A=60°.∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=AD=8,∠1=60°.∵∠ADC=150°,即∠1+∠2=150°,∴∠2=90°.设BC=x,则CD=32-8-8-x=16-x,由勾股定理得x2=82+(16-x)2,解得x=10,16-x=6,∴BC=10,CD=6.

类型四利用勾股定理解动点问题5.(方程思想)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点A出发,沿着三角形的三边,先运动到点C,再运动到点B,最后运动回到点A,vP=2cm/s,设点P的运动时间为ts.(1)当t为何值时,点P恰好在AB的垂直平分线上?(2)当t为何值时,点P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上?

解析????(1)当点P在AC上时,如图,连接PB,?由勾股定理得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82,所以AC=8.∵点P恰好在AB的垂直平分线上,

∴PA=PB=2t,∴PC=8-2t,∴在Rt△BCP中,(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=?.当P在AB上时,PA=PB=5,∴点P运动的路程为8+6+5=19,∴t=?,∴当t为?或?时,点P恰好在AB的垂直平分线上.

(2)当P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上时,如图,过点P作

PF⊥AB于点F,则PF=PC=2t-8,BP=14-2t,AF=AC=8,∴BF=2.在Rt△BPF中,由勾股定理得(2t-8)2+22=(14-2t)2,解得t=?,∴当t为?时,点P在BC上,且恰好在∠BAC的平分线上.

类型五利用勾股定理求路线最短问题6.(化曲为直法)如图所示的是一个三级台阶,它的每一级的

长、宽、高分别为20分米、3分米、2分米,A和B是这个台阶

的两个端点,A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则

它所走的最短路线的长度为????.25分米

解析如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20分米,宽

为(2+3)×3分米,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此

长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路

程为x分米,由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得x=25.故

答案为25分米.?