全等三角形的经典模型(一).doc

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全等三角形的经典模型（一）

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题型一：等腰直角三角形模型

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等腰直角三角形数学模型思路：

⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°,45O，45O）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；

⑶补全为正方形.如图3，4.

C

45°

45°45°

A

AB

C

D

B

图1图2

图3图4

典题精练

典题精练

【例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，上BAC=90°,O为BC的中点，

⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）

N⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.

N

⑶如果点

⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.

【解析】⑴OA=OB=OC⑴连接OA,

⑴OA=OC上BAO=上C=45°AN=CM⑴⑴ANO⑴⑴CMO

⑴ON=OM

⑴上NOA=上MOC

⑴上NOA+上BON=上MOC+上BON=90。⑴上NOM=90。

⑴⑴OMN是等腰直角三角形

⑴⑴ONM依然为等腰直角三角形，

证明：⑴⑴BAC=90°,AB=AC，O为BC中点

B保持

B

保持C

O

A

M

BNO

B

N

O

CA

C

M

N⑴⑴BAO=⑴OAC=⑴ABC=⑴ACB=45°,⑴AO=BO=OC，

N

⑴在⑴ANO和⑴CMO中，

B

O

O

CMA⑴⑴ANO⑴⑴CMO（

C

MA

⑴

⑴ON=OM，⑴AON=⑴COM，又⑴⑴COM-⑴AOM=90°,

⑴⑴OMN为等腰直角三角形.

【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如

图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的

中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由.

【解析】△EMC是等腰直角三角形.

D

E

BM

B

M

AC

证明：连接AM．由题意，得

DE=AC,上DAE+上BAC=90,上DAB=90.

∴△DAB为等腰直角三角形.⑴DM=MB，

⑴MA=MB=DM,上MDA=上MAB=45。.

⑴上MDE=上MAC=105，⑴△EDM⑴△CAM.

⑴EM=MC,上DME=上AMC.

又上EMC=上EMA+上AMC=上EMA+上DME=90.⑴CM丄EM，

⑴△EMC是等腰直角三角形.

D

E

M

M

A

B

C

A

【例3】已知：如图，△ABC中，AB=AC，上BAC=90°,D是AC的中

DE点，AF丄BD于E，交BC于F，连接DF.求证：上ADB=上CDF.

D

E

BCF【解析】证法一：如图，过点A作AN丄BC于N，交BD于M.

B

C

F

∵AB=AC，上BAC=90°,∴上3=上DAM=45°.

∵上C=45°,∴上3=上C.

∵AF丄BD，∴上1+上BAE=90°

A32ME∵上BAC=90°,∴上2+上BAE=90°.∴上1=

A

32ME

D在△ABM和△CAF中，

D

1B

N

NF

∴△ABM≌△CAF.∴AM=CF.在△ADM和△CDF中，

∴△ADM≌△CDF.∴上ADB=上CDF.

证法二：如图，作CM丄AC交AF的延长线于M