从记数法到复数域：数系理论的历史发展.docVIP

从记数法到复数域：数系理论的历史发展

从记数法到复数域：数系理论的历史发展

从记数法到复数域：数系理论的历史发展

从记数法到复数域：数系理论得历史发展

引言

数，是数学中得基本概念，也是人类文明得重要组成部分。数得概念得每一次扩充都标志着数学得巨大飞跃、一个时代人们对于数得认识与应用，以及数系理论得完善程度，反映了当时数学发展得水平。今天，我们所应用得数系,已经构造得如此完备和缜密,以致于在科学技术和社会生活得一切领域中，它都成为基本得语言和不可或缺得工具、在我们得心应手地享用这份人类文明得共同财富时,是否想到在数系形成和发展得历史过程中，人类得智慧所经历得曲折和艰辛呢?

一、记数法、位置制和零

人类在进化得蒙昧时期，就具有了一种“识数”得才能,心理学家称这种才能为“数觉”（peｒceｐtiｏｎofｎuｍｂeｒ)。动物行为学家则认为,这种“数觉”并非为人类所独有、人类智慧得卓越之处在于她们发明了种种记数方法。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”、东汉郑玄称：“事大,大结其绳;事小,小结其绳。结之多少,随物众寡”。以结绳和书契记数得方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到１8２6年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会得进步,数得语言也在不断发展和完善。数系发展得第一个里程碑出现了：位置制记数法、所谓位置制记数法，就是运用少量得符号,通过它们不同个数得排列,以表示不同得数。引起历史学家、数学史家兴趣得是，在自然环境和社会条件影响下，不同得文明创造了迥然不同得记数方法。如巴比伦得楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国得算筹记数系统。

最早发展得一类数系应该是简单分群数系(simpleｇroupｉngｓｙｓtem）,如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例，它是10进得，但却不是位置得。在公元前3000到2019年之间，巴比伦人发展了60进位得定位数系(ｐosｉtｉonalｎumeｒalｓｙstem),它采用了位置制,却不是10进得。而最重要和最美妙得记数法则是10进位位置制记数法。

法国著名数学家拉普拉斯（Laplａｃｅ，1749–1827)曾经写道：

用十个记号来表示一切得数，每个记号不但有绝对得值,而且有位置得值，这种巧妙得方法出自印度。这是一个深远而又重要得思想，它今天看来如此简单,以致我们忽视了它得真正伟绩。但恰恰是它得简单性以及对一切计算都提供了极大得方便，才使我们得算术在一切有用得发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大得两位人物阿基米德和阿波罗尼斯得天才思想得关注时，我们更感到这成就得伟大了。

拉普拉斯得这段评论十分精彩，只可惜她张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿得史料证明,１0进位位置制记数法最先产生于中国、这一点也为西方得一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见得‘印度数字’得背后,位置制已在中国存在了两千年、不过，1０进位位置制记数法得产生不能单纯地归结为天才得智慧、记数法得进步是与计算工具得改进相联系得。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国,是与算筹得使用与筹算制度得演进分不开得、

“０”作为记数法中得空位,在位置制记数得文明中是不可缺少得。早期得巴比伦楔形文字和宋代以前得中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“·”，最后发展为圈号。印度数码在公元８世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利得商人斐波那契（LeｏnａdoFibｏnaｃcｉ,１17５-1250）编著《算经》（ＬｉｂeｒAbaccｉ，120２)，把包括零号在内完整得印度数码介绍到了欧洲、印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后,在欧洲得科学和文明得进步中扮演了重要得角色。

二、大数记法

古代希腊人曾经提出一个问题：她们认为世界上得沙子是无穷得,即使不是无穷,也没有一个可以写出来得数超过沙子得数。阿基米德（Arｃhｉmedes,ＢＣ２87-２1２）得回答是：不、在《数沙术》中,阿基米德以万（myriａd）为基础,建立新得记数法，使得任何大得数都能表示出来。她得做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriadmｙriadｓ,这里按照中文得习惯改称为亿)叫做第1级数;以亿（１08)为第2级数得单位,从亿到亿亿（10８)２叫做第2级数;在以亿亿为单位，直到亿亿亿（1０8）3叫做第3级数。直到第1亿级数得最后一数亿亿、阿基米德算出充满宇宙得沙子得数目不过是10５１，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星得距离为半径得天球，也不过只能容纳1063个沙粒!

同样得问题也出现在中国古代。汉代以前,数皆1０进,以10万位亿。