解答题：空间向量与立体几何（7大题型）-备战2025年高考数学一轮复习（原卷版）.docx

解答题：空间向量与立体几何

题型一：空间异面直线夹角的求解

（23-24高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，.

(1)求证：平面；

(2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值.

1、求异面直线所成角一般步骤：

（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

3、异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.

1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.

(1)求的值；

(2)求异面直线与所成角的余弦值.

2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与所成角的余弦值.

题型二：空间直线与平面夹角的求解

（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，

??

(1)求证：平面⊥平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

1、垂线法求线面角（也称直接法）：

（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；

（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=?l，其中θ是斜线与平面所成的角，?是垂线段的长，

方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，

平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

4、直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.

1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，，，，，为中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

2．（24-25高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

题型三：空间平面与平面夹角的求解

（24-25高三上·湖北·期中）如图，球的半径为，为球面上三点，若三角形为直角三角形，其中.延长与球的表面交于点.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角分别为，试求二面角的正弦值.

1、几何法

（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（4）射影面积法求二面角

2、向量法：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.

1．（24-25高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面.

??

(1)证明：平面；

(2)若，求二面角的正弦值.

2．（24-25高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，M为线段的动点.

(1)若直线平面，求证：为的中点：

(2)求证：平面平面

(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

题型四：空间点、线、面间的距离求解

（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥.

(1)证明：平面；

(2)若求点到平面的距离.

1、几何法求点面距

（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；

（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．

2、向量法求空间距离：

（1）点面距：已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面