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研究生考试考研数学(一301)自测试题(答案在后面)

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=lnx2

A.2

B.2

C.2

D.2

2、设函数fx=e2x

A.a

B.a

C.a

D.a不存在

3、设函数fx=e

A.x=0

B.x=?

C.x=0

D.x=1

4、设函数fx=x3?3x

A.?

B.0

C.1

D.?

5、已知函数fx=

A.函数fx在x

B.函数fx在x

C.函数fx在x

D.函数fx在x

6、设函数fx=1xsinx，其中x≠0。若fx

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

7、若fx=3x2

A.6

B.6

C.6

D.6

8、设函数fx=1x2

A.当x→0

B.fx在x

C.当x→∞

D.当n→∞

9、设函数fx=ln

A)2

B)2

C)2

D)1

10、设函数fx=ex?xx

A.1

B.1

C.1

D.0

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

1、设函数f(x)=e^(-x)sin(x)+ln(x)，则f(x)在x=0处的导数为_______。

2、设函数fx=0

3、设函数fx=ln

4、设函数fx=ex+sin

5、设函数fx=ln

6、一个平面区域D关于直线y=x对称，函数f

三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）

第一题

设函数fx

（1）函数fx

（2）函数fx

（3）求函数fx

第二题

题目：某工厂生产的一种产品，其质量特性服从正态分布，均值为56，标准差为2。为保证产品的质量，该工厂决定采用Frome分位数区间估计方法，以95%的置信水平估计该产品的质量均值。同时为了检验新引入的工艺对产品质量的影响，进行了一次T检验，假设检验的显著性水平为0.05。

1.请根据Frome分位数区间估计方法，计算该产品的质量均值的95%置信区间。

2.假设从该工厂抽取了一组样本，样本量为50，样本均值为56.5，标准差为2。基于上述样本数据，请进行T检验，以确定新工艺是否对产品质量有显著影响。

第三题

假设函数fx=2

（1）求函数fx

（2）证明存在某个ξ∈1,

第四题

题目背景：设函数fx在区间a,b上连续，在a,b内可导，且满足f

第五题

已知函数fx=e

（1）求函数fx

（2）设fx在x=0

（3）证明：对任意x∈?∞

第六题

假设某企业的生产函数为Q=10K0.6L0.4，其中Q为产量，K为资本投入，

问题：

1.当企业保持K=25不变时，求劳动投入L使边际产量（MP）最大化时的

2.求此时的边际产量MP。

解答：

首先，我们根据给定的生产函数Q=10K0.6L

M

（1）当保持K=25不变，设劳动投入为L，我们要使得劳动的边际产量MPL最大化。这可以通过求MP

我们对MPL关于

d

显然，因为K为常数，K0.6也为常数，而L?1.6也是一个正数，我们可以通过求导得到MPL=4K0.6L?0.6关于L的导数为负值，说明MPL关于L是单调递减的。因此，不存在一个L的值可以使MPL达到整体的最大值，但由于是在L0下进行求解，我们不需要寻找MP

实际在实际问题中，我们往往讨论合理投入的区间内，可以看到随着L的增加，MPL逐渐减小，因此我们可以考察L=100作为实际操作中的合理稍小的范围选择，这样的

（2）接下来代入K=25和L=100到

M

M

因此，此时的边际产量MP

第七题

设函数fx=x3?

研究生考试考研数学(一301)自测试题及答案指导

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=lnx2

A.2

B.2

C.2

D.2

答案：B

解析：要求fx=lnx2+1的导数，应用链式法则，设u=x2+1，则fx

2、设函数fx=e2x

A.a

B.a

C.a

D.a不存在

答案：B

解析：首先求出fx

f

接下来求f′x的导数，判断其在

f

为了使f′x在?∞,+

4e2x?2

因为e2x是单调递增的，且当x=0时，e2x=1，所以我们得到x≤0。这意味着f′x在(?∞,

3、设函数fx=e

A.x=0

B.x=?

C.x=0

D.x=1

答案：A

解析：首先求函数fx的一阶导数f

f

令f′

e

通过观察或数值方法可以找到x=0和

求fx的二阶导数f

f

在x=0处，f″

在x=1处，f″1=e1

综上所述，fx的极值点为x=0

4、设函数fx=x3?3x

A.?

B.0

C.1

D.?

答案：D

解析：根据罗尔定理，如果函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且f

首先验证fx在区间?

1.连续性：fx=x

2.可导性：f′x=

3.f

4.f

由于f?2≠f2，原题意有误，应为在a

求导得f′x=

3

因此，当x=?1或x=1时