专题04平面向量的应用(一)正弦定理和余弦定理(知识精讲)(解析版).pdfVIP

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

专题04平面向量的应用（一）正弦定理和余弦定理

本节知识点与题型快速预览

知识点课前预习与精讲精析

核心知识点1：正弦定理：

1．回顾学过的三角形知识填空

(1)任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且大边对大

角，小边对小角．

(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即a222

＋b＝c．

2．正弦定理

abc

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝．

sinAsinBsinC

3．由正弦定理导出的结论

1/13

(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．

abca＋b＋c

(2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．

sinAsinBsinCsinA＋sinB＋sinC

(3)AB⇔ab⇔sinAsinB．

4．解三角形

(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求

其他元素的过程叫做解三角形．

(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？

①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．

②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．

(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等

吗？下图中，

AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？

(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数

的值域判断解的个数．

②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公

共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：

A为钝角A为直角A为锐角

ab一解一解一解

a＝b无解无解一解

absinA两解

ab无解无解a＝bsinA一解

absinA无解

已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．

(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：

(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：

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核心知识点2：余弦定理：

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的

文字语言

余弦的积的两倍

在△ABC中，

a222222

符号语言＝b＋c－2bccosA，b＝c＋a－2cacosB，

c222