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12024/11/15第六章留数定理及其应用§1留数§２用留数定理计算实积分§3辐角原理及其应用
22024/11/151.留数的定义以及留数定理2.留数的求法3.函数在无穷远点的留数第一节留数
32024/11/15定义6.1设f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，那么称积分为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：1.留数的定义及留数定理将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：即
42024/11/15定理6.1(柯西留数定理)f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,…an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,…an外连续,那么证作圆周使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，那么由柯西积分定理有注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。
52024/11/15注柯西积分定理是柯西留数定理的特殊情形因为闭合曲线内解析函数的泰勒展式为f(z)=c0+c1(z-a)+c2(z-a)2+…,无奇点，c-1=0,柯西积分公式也是柯西留数定理的特殊情形柯西积分公式n=0n=1,a1=z于是，留数=c-1=f(z)
62024/11/152.留数的求法(1)常规方法:不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。(1)常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式，即负幂项的系数。(3)a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求(2)a为有限可去奇点时:运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。(4)a为极点时，有如下结论.
72024/11/15其中?(z)在点a解析,?(a)≠0，那么:定理6.2设a为f(z)的n级极点,即推论6.3设a为f(z)的一级极点,那么推论6.4设a为f(z)的二级极点,那么定理6.5设a为的一级极点??
82024/11/15例1设,求留数例2设,求留数例3设,求留数例4计算积分逆时针方向。例5计算积分逆时针方向。
92024/11/15例1例2例3
102024/11/15例4例5
112024/11/15例1求在的留数,其中a,b是实常数.留数计算补充例子例2求在的留数.例3求留数.例4求函数在奇点的留数.
122024/11/153.函数在无穷远点的留数定义6.2设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-{∞}：0≤r|z|+∞内解析，那么称为f(z)在点∞的留数,记为,其中??-是顺时针方向.设f(z)在0≤r|z|+∞内的罗朗展式为由逐项积分定理即知例1设f(z)=z6/(1+z6),求也就是说，等于f(z)在点的洛朗展式中项的系数的相反数。
132024/11/15定理6.6如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),那么f(z)在各点的留数总和为零，即例1计算积分
142024/11/15函数在无穷远点的留数的另一计算公式例2利用以上公式计算
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