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第二章车辆动力学建模方法及基础理论

§2-1动力学方程的建立方法

在车辆动力学研究中，建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种：一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理，二是利用拉格朗日的分析力学体系。本节将对这两种体系作一简单回顾，并介绍几个新的原理。

一牛顿矢量力学体系

(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力Fi的矢量和(即主矢),其表达式为:

二、分析力学体系

分析力学是用分析的方法来讨论力学问题，较适合处理受约束的质点系。

(1)动力学普遍方程动力学普遍方程由拉格朗日(Lagrange)于1760年给出的，方程建立的基本依据是虚位移原理，表示如下：

(2-6)

(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能和总势能均以系统变量的形式表示，然后将其代入拉格朗日方程，再对其求偏导数，即可得到系统的运动方程。拉格朗日方程形式如下：

利用此方程推导车辆动力学方程时，因采用广义坐标，从而使描述系统位移的坐标数量大大减少，并可以自动消去无功内力。但也存在下述问题：

①应用拉格朗日方程时，有赖于广义坐标选取得是否得当，而适当地选择广义坐标有时要靠经验；

②拉格朗日能量函数对于刚体系统的表达式可能非常复杂，代人拉格朗日方程后要作大量运算。而对于复杂的车辆系统，写出能量函数的表达式就更加困难。

三、虚功率原理

若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程，其所依据的原理称之为虚功率原理。虚功率形式的动力学普遍方程为：

四、高斯原理

1829年，高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式，称为高斯原理，其表达式为：

§2-2非完整系统动力学

一、非完整系统动力学简介

1894年，德国学者Henz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类，从此开辟了非完整系统动力学(NonholonomieSystem)的新领域，如今它已成为分析力学的一个重要分支。由于工程技术的需要，该领域的研究自21世纪初得到了迅速发展。首先介绍有关的几个基本概念。

1．约束与约束方程

一般的力学系统在运动时都会受到某些几何或运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体称为约束，用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。

2．完整约束与非完整约束

如果约束方程只是系统位形及时间的解析方程，则这种约束称为完整约束。完整约束方程的一般形式为：

3．完整系统与非完整系统

具有完整约束的力学系统称为完整系统，具有非完整约束的力学系统称为非完整系统。

非完整约束和非完整约束系统其实并不难以理解，比如凡带有滚动轮子的系统，几乎都是非完整系统。因此，非完整系统动力学特别适用于研究行驶车辆的运动。

二、非完整约束方程的实例

这里以一个简单的车轮运动来说明非完整约束方程的建立方法。

1．车轮在垂直平面内沿坐标轴滚动

先假定车轮在垂直平面内沿坐标轴戈方向滚动，如图2—1所示，并假设：

1)车轮为一刚体圆盘；

2)车轮在水平地面上作只滚不滑的纯滚动。

2．车轮在垂直平面内滚动

假定车轮在垂直平面内作纯滚动(图2-2)，且满足条件：

1)车轮在切线方向上只滚不滑；

2)车轮在轴线方向上不能侧向滑动。

3．考虑车轮定位参数的约束方程

三、车辆动力学中应用非完整约束的利弊

在车辆动力学研究中采用非完整约束的优缺点如下：

1)车轮的实际运动情况为非完整约束，所以从理论上讲，在车辆动力学分析中采用非完整约束比简化成完整约束或约束力的方法所得的结果会更精确。

2)在传统的车辆动力学研究中，车轮与地面之间的约束是以力和力矩的形式出现在微分方程的右端，并且预先要知道其变化规律，而由于车轮与地面之间的受力状况非常复杂，通常需要大量试验测量才能确定。然而，采用非完整约束可以避免这一问题。

3)当想要知道车轮与地面之间的作用力时，采用非完整系统动力学中的拉格朗日待定乘子法也可将约束力求出。

4)在研究受控系统的动力学时，可将控制装置作为推广的非完整约束形式。这种方法给研究汽车操纵稳定性等车辆动力学问题带来很大便利。

5)采用非完整约束方法研究车辆动力学也有不利的方面，因为非完整力学系统具有不可积分的微分约束，广义坐标的变分已不再是独立的，通常第二类拉格朗日方程已经不能被应用了，这就需要更复杂的微分方程来描述。现在工程上常用的有Routh方程、Boltzmann

Hamal方程及Appell方程等几种方法。

§2-3多体系统动力学方法

一、发展概况

以欧拉为代表的经典刚体动力学发展至今已有二百多年。

20世纪