2025高考数学一轮复习题组层级快练31含答案.doc

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题组层级快练(三十一)

一、单项选择题

1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，则B等于()

A.eq\f(π,3) B.eq\f(5π,6)

C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,6)

答案D

解析由A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).∵A＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,6).

2．(2018·课标全国Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()

A．4eq\r(2) B.eq\r(30)

C.eq\r(29) D．2eq\r(5)

答案A

解析因为cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5)，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq\r(2).故选A.

3．已知△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c＝()

A．2eq\r(5) B.eq\r(5)

C．2eq\r(5)或eq\r(5) D.eq\r(15)

答案C

解析方法一：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，

∴sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(15),\r(5))×sin30°＝eq\f(\r(3),2).

∵ba，∴B＝60°或120°.

若B＝60°，则C＝90°，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)；

若B＝120°，则C＝30°，∴c＝a＝eq\r(5).

方法二：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，

∴(eq\r(5))2＝(eq\r(15))2＋c2－2×eq\r(15)×c·cos30°.

整理得c2－3eq\r(5)c＋10＝0，

∴(c－2eq\r(5))(c－eq\r(5))＝0，∴c＝eq\r(5)或c＝2eq\r(5).故选C.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcosC且c＝6，A＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为()

A．36eq\r(3) B．27

C．20eq\r(3) D．18eq\r(3)

答案D

解析在△ABC中，a＝bcosC，所以sinA＝sinBcosC，又因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝0，因为B，C∈(0，π)，所以sinC≠0，则cosB＝0，所以B＝eq\f(π,2)，又因为c＝6，a＝6tanA＝6eq\r(3)，所以△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)ac＝18eq\r(3).故选D.

5．(2023·保定市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝()

A.eq\f(3,2) B．2

C.eq\r(3) D.eq\r(2)

答案C

解析方法一：因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以2bcosB＝acosC＋ccosA，由正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，又sinB0，所以cosB＝eq\f(1,2)，则sinB＝eq\f(\r(3),2).因为△ABC外接圆的半径为1，所以由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝2，所以b＝2sinB＝eq\r(3).故选C.

方法二：因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以2bcosB＝acosC＋ccosA，由余弦定理，得2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq