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第五章相交线与平行线

平面内，点与直线之间的位置关系分为两种：①点在线上②点在线外

同一平面内，两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：①相交②平行

一、相交线

1、两条直线相交，有且只有一个交点。〔反之，假设两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。〕

两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：

邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。

注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为〞，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如：

判断对错：因为∠ABC+∠DBC=180°，所以∠DBC是邻补角。〔〕

相等的两个角互为对顶角。〔〕

2、垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：假设线a垂直线b，则线b垂直线a。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。

过一点有且只有一条直线与直线垂直。〔注：这一点可以在直线上，也可以在直线外〕

3、点到直线的距离。

垂线段：过线外一点，作线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。

垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一局部。

垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。〔或说直角三角形中，斜边大于直角边。〕

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。注：距离指的是垂线段的长度，

而不是这条垂线段的本身。所以，如果在判断时，假设没有“长度〞两字，则是错误的。

4、同位角、内错角、同旁内角

三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个局部，形成八个角，其中有：4对同位角，

2对内错角和2对同旁内角。注意：要熟练地认识并找出这三种角：①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分，

即：同位角——F型，内错角——Z型，同旁内角——U型。

特别注意：①三角形的三个内角均互为同旁内角；

②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这

两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。

5、几何计数：

①平面内n条直线两两相交，共有n(n–1)组对顶角。〔或写成n^2–n组〕

②平面内n条直线两两相交，最多有n(n–1)/2个交点。〔或写成〔n^2–n〕/2个〕

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③平面内n条直线两两相交，最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1个面。

④当平面内n个点中任意三点均不共线时，一共可以作n(n–1)/2条直线。

回忆：ⅰ、一条直线上n个点之间，一共有n(n–1)/2条线段；

ⅱ、假设从一个点引出n条射线，则一共有n(n–1)/2个角。

二、平行线

同一平面内，两条直线假设没有公共点〔即交点〕，则这两条直线平行。注：平行线永不相交。

1、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与直线平行。〔注：这一点是在直线外〕

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行。〔或叫平行线的传递性〕

2、平行线的画法：借助三角板和直尺。具体略。〔此根本作图方法一定要掌握，多练习。〕

3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；

③同旁内角互补，两直线平行。

注意：是先看角如何，再判断两直线是否平行，前提是“角相等/互补〞。

一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；

③两直线平行，同旁内角互补。

注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行〞。

一个结论：平行线间的距离处处相等。例如：应用于说明矩形〔包括长方形、正方形〕的对边相等，还有梯形的对

角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。〔因为梯形的上底与下

底平行，平行线间的高相等