2025高考数学一轮复习题组层级快练36含答案.doc

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题组层级快练(三十六)

一、单项选择题

1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()

A．4 B．3

C．2 D．0

答案B

解析因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.故选B.

2．(2022·全国乙卷，文)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝()

A．2 B．3

C．4 D．5

答案D

解析方法一：由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5.故选D.

方法二：由题意知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5.故选D.

3．已知a＝(－2，1)，b＝(k，－3)，c＝(1，2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量e为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))

答案A

解析由题意得a－2b＝(－2－2k，7)，

∵(a－2b)⊥c，

∴(a－2b)·c＝0，

即(－2－2k，7)·(1，2)＝0，－2－2k＋14＝0，

解得k＝6，

∴b＝(6，－3)，

∴e＝±eq\f(b,\r(62＋（－3）2))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).

4．(2019·课标全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)

C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)

答案B

解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝eq\f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝eq\f(π,3).故选B.

5．(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝()

A.eq\r(5) B．3

C．2eq\r(5) D．5

答案B

解析方法一：以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}作为平面内所有向量的一个基底，可知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，

则eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，

所以eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))·(－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＝－1＋4＝3.

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得