2025高考数学一轮复习题组层级快练57含答案.doc

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题组层级快练(五十七)

一、单项选择题

1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()

A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)

C．2 D．4

答案A

解析将原方程变形为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1.

由题意知a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，∴a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.

∴eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).

2．(2023·河南顶尖名校素养调研)已知椭圆C：eq\f(x2,b2＋3)＋eq\f(y2,b2)＝1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3).则b＝()

A．3 B．5

C．7 D．9

答案A

解析因为∠F1PF2＝eq\f(π,3)，所以eq\r(\f(b2,b2＋3))＝coseq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(\r(3),2)，所以b2＝9.又b0，所以b＝3.故选A.

3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(5),3)，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆的短轴长为()

A．8 B．6

C．5 D．4

答案A

解析椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，即2a＝12，可得a＝6，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(36－20)＝4，则椭圆短轴长为8.故选A.

4．(2022·全国甲卷，文)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为()

A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1

C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝1

答案B

解析依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(a，－b)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,3)，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1，故选B.

5．(2024·四省联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)

C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),2)

答案C

解析∵点A，B，C为椭圆D的三个顶点，且△ABC是正三角形，∴a＝eq\r(3)b，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3).故选C.

6．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),2)，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()

A．1 B．2

C．4 D．8

答案C

解析方法一：∵eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴3a2＝4c2，由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.

由F1P⊥F2P，得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，

又△PF1F2的面积为4，则eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝4，即|PF1|·|PF2|＝8，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2－16＝3a2，则a2＝16，解得a＝4.故选C.

方法二：S△PF1F2＝b2·taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2＝4，∴b＝2.∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\f(\r(3),2)a且a2－c2＝4，解得a＝4.故选C.

7．(2