人教A版高一数学函数的单调性与奇偶性的综合应用例题讲解 .pdfVIP

函数的单调性与奇偶性的综合应用

例1.设函数,，=/*)的定义域为R,并且满足/(x+y)=/(x)+/(y),吗)=1,当

X0时,/(•¥)0.

求的值；

(1)/(0)

(2)判断函数的奇偶性；

(3)如果/(x)+/(2+x)v2,求％的取值范围.

分析：(3)，在求解与抽象函数一个的不等式时，往往是利用函数的单调性把符号

脱掉,使抽象不等式转化为具体的不等式，此时要特别注意函数的定义域.

解：(1)令x=y=0,则有/(0)=/(0)+/(0)=2/(0)

・・・/(0)=0;

(2)令)，=t厕有/(0)=/(x)+/(-x)=0

，/(-%)=-/(工)

・・・函数)，=/(X)的定义域为R,关于原点对称

・・・函数)，=/(X)为奇函数；

⑶令则有段++启［+詹)=佣=“、

2

,•，呜卜，停)=2

任取xxeR.且$x，则x-x0

lt222t

•.•当x0时，f(x)0,，/(x-x)0

21

，/(工)一/(占)=〃(七一阳)+当)一/(%,)=/(x-x,)+/(x,)-/(x,)

2

=/(x-x)0

2l

•••/(*)/(%)

・••函数),=/(幻在上为增函数

R

第1贞

♦・・/(A-)+/(2+X)2,・・・/(X+(2+⑼V/(I,

(

：.f(2x+2)f-

\3/

•・•函数)，=/«在上为增函数

R

2,?

/.2工+2二,解之得:工〈一一.33

・・・1的取值范围是(-00,-|、.

总结在求解与抽象函数一个的不等式时,要用到函数的单调性,从而把抽象函数的不等式转化为

具体的不等式求解.若函数的单调性未知,则在解不等式前要先用定义法确定函数的单调性,注意

函数的定义域和单调区间.

例2.已知函数/⑴是定义在(-s,0)U(0,*o)上的不恒为零的函数，对于任意非

f(ab)=f(a)+f(b)f(x)

零实数满足，且当X1时，有0.

(1)判断并证明函数/(X)的奇偶性；

(2)证明函数/⑴在(0,2)上为增函数，并求不等式的解集.

分析：(1),函数/(X)满足f(ah)=/(«)+/(〃),为“和型”抽象函数，在判号时常利

用条件变形为：

\/U,)=/[—)+/(M)-)=/|上.

解:(1)函数/(x)为偶函数，理由如下:

f(x)是定义在(-s,0)U(0,2)上的函数

・•・其定义域关于原点对称.

令。=。=则有/⑴=

1,/(1)+/(I)=2/(1),・♦・/(I)=0

令a=b=-l，则有/(I)=/(-I)+/(-I)=2/(-1)=0,.\/(-I)=0

令。=%力=T,则有f(-x)=

/(x)+/(-l)

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，函数/(x)为偶函数；

证明:任取.(。，〜),且再羽,则±

(2)M1

.,演

/、