湖南省衡阳市衡阳县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）.docx

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试

数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合，则（????）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合，根据交集运算得解.

由，可得，解得，

，又，

所以，

故选：D．

2.已知复数，则表示的点所在象限是（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先利用复数的除法运算求出，从而得到判断其表示的点所在象限即可.

，

所以，所以表示的点所在象限是第一象限，

故选：A

3.已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案.

恒成立，

当时，，满足要求，

当时，需满足，解得，

故为真命题，需满足，

，，则，解得，

故为真命题，需满足，

综上，的取值范围为

故选：D

4.已知，且与垂直，则与的夹角为（）

A.60° B.30° C.135° D.45°

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小.

由题设，

所以，而，

所以.

故选：D

5.椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设Ax1,y1,Bx2

椭圆，即：，

设椭圆上两点Ax1,y1,B

则，，

所以，

所以，所以，

代入直线方程得，即，

因为在椭圆内部，所以，

解得，

即的取值范围是．

故选：B．

6.某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设相应事件，利用组合数求，结合古典概型运算求解.

设样本空间为，则，

设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A，

则，

所以.

故选：B.

7.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解.

设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为，

该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即，

则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为．

故选：B

8.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，利用平方关系和倍角公式，得到，令，得到或，再结合条件，即可求出结果.

因为，

令，则，令，得到，

所以或，令，得到或，令，得到或，

又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点，

所以，得到，

故选：B.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点F1,0的距离与到定直线的距离之积为1，则（）

A.

B.点在C上

C.C在第一象限点的纵坐标的可以为

D.当点在C上时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据可得即可判断A，将以及代入曲线方程即可判断BC，根据即可判断D.

对于A，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，故，故A正确，

对于B，因为曲线的方程为，代入知满足方程；故B正确，

对于C，由，将代入方程满足，故在曲线上，故C正确，

对于D，曲线的方程为，可化为，

即，因为，故D错误，

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：根据到的距离为，而，得，得曲线方程.

10.如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（）

A.，使

B.线段存在最小值，最小值为

C.直线与平面所成的角恒为45°

D.，都存在过且与平面平行的平面

【答案】AD

【解析】

【分析】利用向量的线性运算可得，结合向量的模的计算可判断B的正误，结合向量夹角的计算可判断C的正误，结合共面向量可判断D的正误.

因为四边形正方形，故，

而平面平面，平面平面，

平面，故平面，而平面，

故.

设，则，其中，

由题设可得，

，

对于A，当即时，，故A正确；

对于B，，