2024-2025学年上海川沙中学高二期中数学试卷及答案（2024.10）.docx

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川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考

2024.10

一、填空（）

1．复数满足，则________．

2．等比数列中，若，，则________．

3．已知空间中两条直线、，“”是“与相交”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”）

4．以下各项属于公理的是________．

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；

④平行于同一条直线的两条直线平行；

⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．

5．设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和________．

6．水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________．

7．已知，，在上的投影向量的坐标

为________．

8．空间四边形，，、、分别为、、的中点，若异面直线和成的角，则________．

9．已知数列满足，，则________．

10．在中，，，则面积为________．

11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是________．

12．已知异面直线、所成角为，直线与、均垂直，且垂足分别是点、，若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是________．

二、选择（）

13．下列说法正确的是（）

A．平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两条直线平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一直线的两个平面平行

14．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）

A．， B．，C．， D．，

15．如图，四面体中，、、两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）

A． B．

C． D．

16．如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有（）个

A．4 B．6 C．10D．14

三、解答（）

17．已知，，．

（1）求；

（2）若，求实数的值．

18．如图，在长方体中，、分别是和的中点．

（1）证明：、、、四点共面；

（2）证明：、、三线共点．

19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．

（1）求几何体下半部分圆柱的体积；

（2）如图，设为圆柱底面半圆弧的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求．

20．如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．

（1）求证：平面：

（2）求证：平面；

（3）求和平面所成角的正弦值．

21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．

（1）求证：；

（2）求二面角：

（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，真线与平面所成的角最大?求出最大角，并说明点此时所在的位置．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.既非充分也非必要;4.①②④;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是________．

【答案】

【解析】如图将下方几何体沿展开，如图所示，

由平面与圆柱侧面展开图中对应的函数表达式为

周期,即圆柱底面圆的周长为,面圆的半径

底面圆的直径,又由函数表达式为,

可得,又易知平面与圆柱底面所形成的二面角为,

在中,,

故平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值为.故答案为:.

12．已知异面直线、所成角为，直线与、均垂直，且垂足分别是点、，若动点，，，则线段中点