第06讲实际问题与一元二次方程（7种题型）（原卷版）.pdfVIP

第06讲实际问题与一元二次方程（7种题型）

1.能运用一元二次方程解决实际问题.（重点）

2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）

知识点1：列一元二次方程解应用题

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法

题型1：增长率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及

增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础

上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为n(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长

a(1x)b

后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为n(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低

a(1x)b

后的量.)

题型2：面积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图

形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

题型3：比赛统计问题

比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．

题型4：传播问题

传播问题：

n，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，

a(1x)A

A表示最终的人数．

题型5：销售利润问题

利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息本金×利率×期数

利息税利息×税率

本金×(1+利率×期数)本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]本息和(收利息税时)

利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润售价-进价(成本)

总利润每件的利润×总件数

1

题型：增长率问题

例1．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到

3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）

A．10.5%B．10%C．20%D．21%

例2．（2021•盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，

该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，

则可列方程为．

2

题型：面积问题

例3．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一

个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩

形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程

为．

例．（秋江苏无锡九年级无锡市东林中学校考期中）如图，长方形花圃ABCD面积

42022··

为2，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是

4mAD

5mxm

．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（）

EF1mAB

x52x