第10讲 直线与圆的位置关系（7种题型）（原卷版）.pdfVIP

第10讲直线与圆的位置关系（7种题型）

1.理解并掌握直线与圆的各种位置关系；

2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练

掌握以上内容解决一些实际问题；

一．直线与圆的位置关系

（1）直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点．

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫

切点．

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．

（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

①直线l和⊙O相交⇔d＜r

②直线l和⊙O相切⇔d＝r

③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

二．切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半

径，见垂直．

三．切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交

点，作半径，证垂直”．

四．切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

五．弦切角定理

（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．

六．切线长定理

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线

的夹角．

（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

（4）切线长定理包含着一些隐含结论：

①垂直关系三处；

②全等关系三对；

③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．

七．切割线定理

（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理）

（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）

2

由上可知：PT＝PA•PB＝PC•PD．

八．三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

一．直线与圆的位置关系

1．（2023•淮阴区一模）已知⊙O的半径为5