晶格振动【共131张课件】.pptx

晶格振动;2;3;4;晶格振动;§3.1一维单原子链;考虑原子在平衡位置附近振动，偏离平衡位置的位移δa

将U(r)=U(a+δ)在a附近进行泰勒展开：

第一项U(a)为常数；

第二项中

说明：平衡位置处的原子受力为零；

保留二阶项，更高阶项忽略；;考虑原子间的相互作用

原子受力

令为恢复力常数

则有，正好与胡克定律形式相同；

因此，我们所做的近似相当于把相邻原子之间的相互作用使用一个劲度系数为β的弹簧代替；

这一近似称为“简谐近似”.;一维单原子链

（1）原子质量为m；平衡位置间距为a；相互作用为U(r)；

（2）原子偏离平衡位置距离为μ；

由于热运动，第n个原子偏离平衡位置距离为μn；

第n和n+1个原子的距离由平衡时的a变为a+μn+1-μn；;只考虑最近邻原子间的相互作用，分析第n个原子受力

受到第n+1个原子的作用力为β(μn+1-μn)

受到第n-1个原子的作用力为β(μn-1-μn)

第n个原子受合力为β(μn+1+μn-1-2μn)

根据牛顿第二定律，可得到第n个原子运动方程

;第n个原子运动方程

对于原子链中的每个原子，都有一个运动方程;周期性边界条件(Born-Karman条件)

;13;在周期性边界条件下，不同原子运动方程满足通式

方程具有形式解

其中A为原子振动的振幅；ω=2πf为圆频率；q=2π/λ为波矢

形式解代回微分方程，可得到;形式解

代回微分方程;一维单原子链振动解

描述的是所有原子同时做振幅为A，波矢为q，频率为ω的振动；原子的集体运动形成了在晶体格子中传播的波，称为格波。

;17;18;不同波长（波矢）格波的等价性;正负离子的位移恒定，令，得：

用量子力学处理晶格振动，系统哈密顿量

引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。

q空间的波矢密度

两原子间距增大，有热膨胀现象。

每个波矢对应两个ω，因而总的振动模式数目为2N，正好等于晶体中的自由度数。

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N2种取值波矢q共有N=N1N2N3种取值

相邻两个原子的振动相位差

讨论q空间的波矢密度（振动模式密度）

说明温度趋近于零的时候，比??也趋于零，与实验定性符合

（1）对于离子晶体，可用光激发光学模，这时正负离子向相反方向运动，在晶体中出现正负电荷的空间极化，因此光学波又长称为极化波。

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n种原子,N个原胞，体积v0

（2）光学波对晶体光学性质的影响极大。;（1）长波极限

波速为常数

相邻两个原子的振动相位差

因此近似于连续介质弹性波（声波，无色散）

解释：当波长时，原子链可以近似看作连续的。;22;（2）短波极限

对应截止频率

相邻两个原子的振动相位差

也即，相邻原子振动方向相反

;长波极限和短波极限;晶体链的动能：;§3.2一维双原子链;分析第2n个原子受力

受到第2n+1个原子的作用力为β(μ2n+1-μ2n)

受到第2n-1个原子的作用力为β(μ2n-1-μ2n)

第n个原子受合力为β(μ2n+1+μ2n-1-2μ2n)

可得到第2n个原子的运动方程

类似得到第2n+1个原子的运动方程

系统共有2N个原子，因此有2N个方程

;方程具有形式解

由于Mm，不同质量原子振动振幅一般是不相等的；

上述形式解代入运动方程可得到：

;

;

q取值范围一般取第一布里渊区

周期性边界条件

因此，

允许的波矢q数目为N，等于原胞个数；

格波支数为2，等于原胞内自由度数；

每个波矢对应两个ω，因而总的振动模式数目为2N，正好等于晶体中的自由度数。

;

3.长波极限

(a)声学支

;(b)光学支

;33;长声学波和长光学波;4.短波极限

(a)声学支

;(b)光学支

;色散关系对比;§3.3三维晶格振动;总势能展开

(1)为常数，表示晶体中所有原子处于平衡位置时的势能

(2)所有原子处于平衡位置时