2025年高中数学人教A版必修1同步复习资料 专题3.3 函数的基本性质-重难点题型精讲（教师版）.pdfVIP

专题3.3函数的基本性质-重难点题型精讲

1．函数的单调性

(1)单调递增、单调递减：

(2)函数的单调性及单调区间：

①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数yf(x)在这一区间具

有(严格的)单

调性,区间D叫做yf(x)的单调区间.

(3)常见函数的单调性：

(4)单调函数的运算性质：

若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a0时，f(x)与af(x)

具有相反的

单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a0时，f(x)与具有相反的单调性；

当a0时，

f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：

⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区

间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减

(增).

(5)复合函数的单调性判定：

对于复合函数f(g(x))，设tg(x)在(a,b)上单调，且yf(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，

g(a))上也单调.

2．函数的最大（小）值

(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：

①如果函数yf(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数

yf(x),x[a,c]在xb处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数yf(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数yf(x),

x[a,c]在xb处有最小值f(b)，如图(2)所示.

3．函数的奇偶性

(1)定义：

(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的

中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数

是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴

对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原

点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取

最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时

的自变量也互为相反数.

(3)函数图象的对称性：

①图象关于点成中心对称图形：函数yf(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充

要条件是函数g(x)f(x+a)-b为奇函数.

②图象关于直线成轴对称图形：函数yf(x)的图象关于直线xa成轴对称图形的充要条

件是函数g(x)f(x+a)为偶函数.

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

【方法点拨】

(1)定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性或求单调区间.

(2)图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.

注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合

函数的单调性；

②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件

得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次

尝试.

【例1】（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（）

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A．=−B．y＝2x+1C．y＝xD．y＝x