研究生考试考研数学(三303)试题及答案指导(2024年).docxVIP

2024年研究生考试考研数学(三303)复习试题(答案在后面)

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、下列哪个函数不是偶函数？

A.2x

B.sin(x)

C.cos(x)

D.tan(x)

2、复数??=??+????的共轭复数是：

???????

??+??????

??+????

???????

3、设fx=2

A.f

B.f

C.f

D.无法确定方向

4.设fx=lnx

A.12B.1C.1e

5、若函数f(x)=x^2-4x+3,则f(x)在区间[1,2]上的最大值为()

A.0

B.1

C.3

D.7

6、（选择题）以下哪个是拉格朗日中值的定理的表述？

A、设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上differentiable，且存在两个常数A和B，满足f(a)=A和f(b)=B。那么至少存在一个点c在(a,b)上，使得f’(c)=(A-B)/(a-b)。

B、设函数y=f(x)在开区间(a,b)上continuous，在闭区间[a,b]上differentiable，且f(a)≠f(b)。那么至少存在一个点c在(a,b)上，使得f’(c)=(f(a)-f(b))/(a-b)。

C、设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上differentiable，且在闭区间[a,b]上存在f’(x)的值。那么至少存在一个点c在(a,b)上，使得f’(c)(a-b)=f(b)-f(a)。

D、设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上continuous，在开区间(a,b)上differentiable，且f(a)≠f(b)。那么至少存在一个点c在(a,b)上，使得f’(c)=(f(a)-f(b))/(a-b)。

7.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，对于任意的x?,x?∈[a,b]，都有f(x?)≤f(x)≤f(x?)，以下结论正确的是：

A.f(x)在区间[a,b]上一定是增函数；

B.f(x)在区间[a,b]上一定是减函数；

C.f(x)在区间[a,b]上的最小值一定在端点a处取得；

D.对于任意c∈R，都存在x使得f(x)=c。

8、（）

A、1

B、2

C、3

D、4

9、（10分）已知线性方程组Ax=b（A是m×n矩阵，x是n维向量，b是m维向量）有唯一解，则下列哪一项是正确的？

A.矩阵A是可逆的

B.矩阵A的行列式不为零

C.方程组Ax=b有无穷解

D.方程组Ax=0有唯一解

10.若fx=3x

A.3

B.7

C.0

D.存在无解

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

1、在多元最优化问题中，线性模型的假设是决策变量与目标函数成__________关系。

2、设fx=cosx

3.若函数fx=x2

4、若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在区间[-1,1]上单调递增，则有______。

A.f’(x)0在区间[-1,1]上恒成立

B.f′x≥

C.f′x≥

D.f′x≥

5、如果函数f(x)在点a的某一邻域内有极限，那么对于所有这样的x，当|x-a|ε时，f(x)-f(a)ε，其中ε是任意给定的正数。这个性质称为函数在点的______

6、若函数fx在x=a处存在二阶导数，且f″a

三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）

第一题

这道题是研究生考试中常见的立体几何题目。这类题目主要考察学生对于空间距离、立体几何性质等的理解和应用能力。

解答过程：

1.首先，我们知道正四面体的所有边长相等，且它的各个面都是全等的等边三角形。这样的正四面体外接球的中心O也是其四个顶点的中心。

2.设边长为a，则高AD′（同时也是外接球的半径R）的长度为

3.点G位于正四面体的中心，到顶点A、A′的距离相等。设点G到A点的距离为h，则h

4.点G到AD′（正四面体的高）的距离是它到顶点A的距离的一部分，因为G位于底面ABCD的垂直平分线上。设该距离为d，则有三角形A

第二题

题目：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c经过点(0,1)，求f’(x)，并利用泰勒公式求解limf(x)（其中lim表示趋于某点的极限值）。此外，描述f(x)的极值点与凹凸性判断方法。写出解析过程和最终答案。例如使用欧拉恒等式求高阶导数等相关技术以解题。（如需构造特殊值请按常规符号表达。）本题共计15分。此为基本数学问题之一，要求学生了解函数