专题5.11二次函数与特殊三角形综合问题大题专练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典（解析版）【苏科版】.pdfVIP

2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】

专题5.11二次函数与特殊三角形综合问题大题专练（重难点培优）

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一、解答题(共24题)

1．（2022·江苏淮安·九年级期末）已知一次函数y＝x＋4的图象与二次函数y＝ax（x－2）的图象相交于点A

（－1，b）和点B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y＝ax

（x－2）的图象交于点C．

(1)a＝，b＝，B点的坐标为；

(2)求线段PC长的最大值．

(3)连接AC，当△PAC是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

【答案】(1)1；3；（4，8）

25

(2)4

(3)(2,6)或(4―2,8―2)

【分析】（1）先求得点A的坐标，代入二次函数求得a的值，得到抛物线的解析式，然后联立二次函数和

一次函数求得点B的坐标；

2

（2）设点P（m，m+4），则C（m，m-2m），然后得到PC的长，进而利用二次函数的性质求得PC的最大

值；

（3）由直线y=x与直线y=x+4平行得到∠APC=45°，过点A作AH⊥PC于点H，则△APH为等腰直角三角

形，得到∠PAC＞45°，即有AC≠PC，然后分情况讨论，①AP=AC时，PC=2AH，然后列出方程求得点P的

坐标；②PA=PC时，AH=m+1，则AP=2（m+1），然后列出方程求得m的值，得到点P的坐标．

(1)

解：对y=x+4，当x=-1时，b=-1+4=3，

∴点A的坐标为（-1，3），

将点A代入y=ax（x-2）得，3a=3，

∴a=1，

2

∴抛物线的解析式为y=x（x-2）=x-2x，

由=+4，解得：=―1或=4，

=2―2=3=8

∴点B的坐标为（4，8），

故答案为：1，3，（4，8）．

(2)

2

解：设P（m，m＋4），则C（m，m－2m），

3225

22=―(―)+

∴PC＝（m＋4）－（m－2m）＝－m＋3m＋4，

24

∵-10，

325

=

∴当时，PC有最大值，最大值为；

24

(3)

解：∵直线y=x与直线y=x+4平行，

∴∠APC=45°，

如图，过点A作AH⊥PC于点H，则△APH为等腰直角三角形，

∴∠PAC＞45°，

∴AC≠PC，

①AP=AC时，∠APC=∠ACP=45°，

∴△APC是等腰直角三角形，

∴PC=2AH，

2

∵AH=m+1，PC=-m+3m+4，

2

∴-m+3m+4=2（m+1），

解得：m=2或m=-1（舍），

∴点P的坐标为（2，6）；

②当PA=PC时，

∵AH=m+1，△PA