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罗尔定理的推广及证明

罗尔定理描述如下：

如果?R?上的函数f(x)满足以下条件：（1）在\o闭区间闭区间?[a,b]上\o连续连续，（2）在\o开区间开区间?(a,b)内\o可导可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

证明过程

证明：因为函数f(x)在闭\o区间区间[a,b]上连续，所以存在\o最大值最大值与\o最小值最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：

1.若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为\o常函数常函数，结论显然成立。

2.若Mm，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f(ξ)=0。

另证：若Mm，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f(ξ+)=0，f(ξ-)=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。

几何意义

若\o连续曲线连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除\o端点端点外处处具有不垂直于x轴的\o切线切线，且在弧的两个端点A,B处的\o纵坐标纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。