2024-2025学年福建省福州市精师优质高中联盟高二上学期入学质量检测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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福建省福州市精师优质高中联盟2024-2025学年

高二上学期入学质量检测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，，且，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】依题意，，所以.

故选：B.

2.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（）．

A.关于xOz平面对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称

【答案】D

【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标；

点关于z轴的对称点为B，则B坐标；

则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称.

故选：D．

3.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）

A.，， B.，，

C，， D.，，

【答案】A

【解析】构成空间的一组基底，则不共线，

假设共面，则存在不全为零的实数，使，

即，

则，则，与不共线矛盾，故不共面；

，故共面；

，故共面；

，故共面.

故选：.

4.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点，

故，即四边形为平行四边形，所以，

则即为异面直线与所成角或其补角；

直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接，

则平面，故平面平面，

故，是棱的中点，故，

则,而,

又，故在中，,

由于异面直线所成角的范围，故异面直线与所成角的余弦值是，

故选：D.

5.平行六面体中.则=（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意得，

故

，

故.

故选：A.

6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】根据题意，，

，，

在上的投影向量可为,

故选：A.

7.如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（）

A. B. C. D.1

【答案】B

【解析】如图，延长交于点，连接交于，

连接，则四边形所求截面．

取的中点，连接.

∵，

∴是△APC的中位线，

∴为的中点．

又分别为的中点，

∴，则，即，

∴为上靠近的三等分点，故．

故选：B.

8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，

因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，

从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，

取中点M，连接，因为，则，显然，

又平面，则平面，

而平面，平面，即有，

平面，则平面，平面与平面有公共点，

显然平面与平面为同一平面，有，而，，

在直角梯形中，过作于I，，

球O的半径，

过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，

则，，

由已知得，即，

，，则点到直线距离有：,

球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，

截得的最小截面圆半径为，而，则

，

所以截得的截面圆面积的最小值是.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）

A.直线AB的一个方向向量为

B.线段AB的长度为3

C.平面α的法向量中

D.向量与向量夹角的余弦值为

【答案】ACD

【解析】因为平面经过三点，，，

则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确；

线段的长度为，故B错；

又向量是平面的法向量，，

则，解得，则，故C正确；

又,1,，

则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确．

故选：ACD．

10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）

A.异面直线与所成角为

B.平面

C.三棱锥的体积不变

D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为

【答案】BCD

【解析】对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，

故A错误；

对于B，由正方体的性质可知，，面，