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2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）

一、填空题（1-10题每题4分，11-16题每题6分，共76分）

1．（4分）甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，则小荣取出的球是红球的概率为．

2．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，F是AB中点，以点A为圆心，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G1﹣S2为．

3．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8．

4．（4分）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，b+c＝5，则此三角形面积的最大值为．

5．（4分）如图，⊙O的弦AB＝8，直径CD⊥AB于M，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交AB的延长线于点F连结DE．

6．（4分）二次函数y＝ax2+4x+1（a为实数，且a＜0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2．

7．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，点P是AD边上的一个动点，连结BP1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是．

8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（1，0），（0，4），其对称轴在y轴左侧．有下列结论：①abc＞02+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根；③﹣4＜a＜0．其中，正确结论的序号为．

9．（4分）已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM+BM的最小值为．

10．（4分）设△ABC的重心为G，且AG＝6，BG＝8△ABC＝．

11．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，且BE：EC＝2：1，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为．

12．（6分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，若CH＝2CE，则的值为．

13．（6分）半圆O的直径AB＝9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD＝，则DE＝．

14．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝15°，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则．

15．（6分）如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”．若等边高△ABC（△ABC为锐角三角形），BC是高边，AD⊥BC交BC于E点，DE＝2，EC＝3．

16．（6分）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，D是的三等分点，连结AD交CF于点G，连结AC，若⊙O的半径为5，，则△ANB的周长为．

二、解答题（每题12分，共24分）

17．（12分）如图，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，∠BCD＝∠ECF＝60°

（1）如图①，当点G在对角线AC上时，＝；

（2）如图②，当菱形GECF按顺时针方向旋转的角度为α（0°＜α＜60°），线段AG与BE之间的数量关系为，并证明你的结论；

（3）如图③，在菱形GECF旋转的过程中，当点A，G，连接CG并延长，交AD于点H，GH＝，求AH的长．

18．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°（不与点B，C重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接CD并延长交三角形ABC的外接圆于点E，EB，AP．

（1）若CD2＝CP?CB，求证：BD＝BE．

（2）如图2，AC＝2，BC＝4．

①若AE＝3BE，求AP的长．

②求AP?DE的最大值．

2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学九年级（上）竞赛数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析