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高二数学导数隐零点问题集锦

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【题目1】已知函数，，当时

恒成立，则整数最大值为．

【题目2】已知函数f（x）＝ex﹣lnx（x＞0）的最小值为m．

（1）设，判断g（x）在（0，＋∞）上的单调性，并说明理由；

（2）比较m与2的大小关系，并说明理由；

（3）求函数h（x）＝ex﹣emlnx的最小值．

【题目1】已知函数，，当时

恒成立，则整数最大值为5．

【考点】：利用导数研究函数的最值

【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用

【分析】恒成立，等价于对一切恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数的取值范围．

【解答】解：因为当时，不等式恒成立，

即对一切恒成立，

亦即对一切恒成立，

所以不等式转化为对任意恒成立．

设，则，

令，则，

所以在上单调递增．

因为（9），，

所以在上存在唯一实根，且满足，

当时，，即；

当时，，即．

所以函数在上单调递减，在，上单调递增，

又，所以．

所以，

所以，

故整数的最大值是5．

故答案为：5．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

【题目2】已知函数f（x）＝ex﹣lnx（x＞0）的最小值为m．

（1）设，判断g（x）在（0，＋∞）上的单调性，并说明理由；

（2）比较m与2的大小关系，并说明理由；

（3）求函数h（x）＝ex﹣emlnx的最小值．

【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可；

（2）求出导函数的零点，得到f（x）的最小值，根据基本不等式的性质证明即可；

（3）求出函数的导数，求出函数的最小值，得到最小值的取值即可．

【解答】解：（1）

∵，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递增

（2）由（1）可知f（x）在（0，＋∞）上单调递增

∵

∴f（x）存在唯一的零点，设为x0，则x0且

当x∈（0，x0）时，f（x）＜0；当x∈（x0，＋∞）时，f（x）＞0

从而f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减

所以f（x）的最小值

∵，∴∴x0＝﹣lnx0，∴（当且仅当x0＝1时取等号）

∵x0∴m＞2（第二问也可证明ex≥x＋1，lnx≤x﹣1，从而得到m＞2）

（3）

同（1）方法可证得h（x）在（0，＋∞）上单调递增

∵m＞2，∴

∴h（x）存在唯一的零点，设为x1，则x1∈（1，m）且

所以h（x）的最小值为

∵，∴，∴x1＝m﹣lnx1，即m＝x1＋lnx1

由（2）可知，∴x1＋lnx1＝

∵y＝x＋lnx在（0，＋∞）上单调递增，∴

所以h（x）的最小值为

，

又∵，∴，即，于是．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查基本不等式的性质的应用以及转化思想，是一道综合题．

【题目】设，且，证明.