18-19 课时分层作业17 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示.docVIP

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课时分层作业(十七)空间向量基本定理空间向量的坐标表示

(建议用时:40分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa＋yb＋zc＝0,则x,y,z满足的条件是________.

[解析]由{a,b,c}是空间的一个基底知,a,b,c不共面．

由空间向量基本定理得x＝y＝z＝0.

[答案]x＝y＝z＝0

2.已知a＝(1,－2,1),a－b＝(－1,2,－1),则b＝________.

[解析]b＝a－(a－b)＝(1,－2,1)－(－1,2,－1)＝(2,－4,2).

[答案](2,－4,2)

3.若a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则

＝

＝

是a∥b的________条件.

[解析]设

＝

＝

＝k,易知a∥b,即条件具有充分性．又若b＝0时,b＝(0,0,0),显然有a∥b,但条件

＝

＝

显然不成立,所以条件不具有必要性．

[答案]充分不必要

4.若{a,b,c}是空间的一个基底,向量m＝a＋b,n＝a－b,则向量a,b,c中与m,n可以构成空间向量另一个基底的向量是________.

【导学号:

[解析]显然a或b均与m,n共面,c与m,n不共面,故为c.

[答案]c

5.如图3-1-21所示,设O为?ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若

＝

＋x

＋y

,则x＝_________,y＝________.

图3-1-21

[解析]∵

＝

－

＝

－

＝

(

＋

)－

＝

＋

－

＝

＋

(

－

)－

＝

＋

－

,∴x＝

,y＝－

.

[答案]eq\f(1,2)－eq\f(3,2)

6.已知a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),若a∥b,则x＝________,y＝________.

[解析]∵a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),又∵a∥b,显然y≠0,∴

＝

＝

,∴x＝

,y＝－

.

[答案]eq\f(1,6)－eq\f(3,2)

7.如图3-1-22在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.

＝________,OB1＝________.

图3-1-22

[解析]∵A(2,0,0),M(0,0,1),

B1(2,2,2),O(1,1,0),

∴

＝(－2,0,1),

＝(1,1,2).

[答案](－2,0,1)(1,1,2)

8.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,点M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG＝2GN,用基底向量

,

,

表示向量

为________.

【导学号:

图3-1-23

[解析]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(MG,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up8(→))

＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→)))

＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→)))－\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))))

＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))

＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).

[答案]eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))

二、解答题

9.如图3-1-24所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.

图3-1-24

(1)化简: