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《指数幂的拓展》知识拓展

知识要点

1.根式

(1)次方根:一般地,如果,那么叫做的次方根.其中.

(2)根式:式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数.

2.分数指数幂的意义

(1)正分数指数幂:(a0,m,n∈,n1);

(2)负分数指数幂:(a0,m,n∈,n1).

规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

问题探究

问题1如何理解次方根的概念?

提示(1)在次方根的概念中,关键是数的次方根满足,因此求一个数的次方根就是求哪个数的次方等于.

(2)次方根,实际上就是平方根与立方根的推广.

(3)次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.

问题2可以理解为个相乘吗?它的实质是什么?

提示不可以理解为个相乘,如显然不是个相乘,它的实质是根式的另一种写法,如.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.

问题3分数指数能约分吗?

提示分数指数幂是根式的一种表示形式,即.分数指数不能随意约分,如约分后为,而在实数范围内是无意义的.

问题4负数也有分数指数幂吗?

提示在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂,如有意义,但就没有意义.

问题5无理数指数幂是如何理解的？

提示对于无理数指数幂,我们可以从有理数指数幂的角度来理解,由于无理数是无限不循环小数,因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它,最后我们也可以得出无理数指数幂是一个确定的实数.