5.14三角形综合题(第4部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析.pdfVIP

2018年各地中考数学试题分类汇编

第五部分图形的性质

5.14三角形综合题

【一】知识点清单

三角形综合题

【二】分类试题汇编及参考答案与解析

一、选择题

1．（2018年湖北省孝感市-第10题-3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，

∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点

H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其

中正确结论的个数为（）

A．5B．4C．3D．2

【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角

三角形．

【思路分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此

可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH

即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=

=x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之

BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．

【解答过程】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，

∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，

∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，

∴∠ADC=15°，故①正确；

∵AE⊥BD，即∠AED=90°，

∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，

∴∠AGF=75°，

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由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；

记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，

则∠BAH=∠ADC=15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF=AH，故③正确；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，

∴△AFG∽△CBG，故④正确；

在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，

设EF=a，

∵△ADF≌△BAH，

∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，

∴BE=AE=AF+EF=a+2x，

∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，

∴△PAF∽△EAH，

∴=，即=，

2

整理，得：2x=（﹣1）ax，

由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；

故选：B．

【总结归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形

的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．

2．（2018年湖北省荆门市-第11题-3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的

中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C

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时，点M所经过的路线长为（）