解析几何全面总结.docxVIP

解析几何的一般解题思路：

第一步设直线方程.没有告知过点那么设斜截式，过一点那么设点斜式〔只含一个斜率k),过x轴上一定点那么设x=ky+m〔此时弦长公式为，k为斜率的倒数〕，特殊情形下设点的坐标〔不设点的坐标不能统一条件〕。第二步直线方程带入椭圆或双曲线方程，整理成关于或的一元二次方程，由根与系数的关系写出关系式。第三步结合题目条件或要求进行运算整理。

常用技巧.

点差法.标志性字眼，中点，平分.以焦点在x轴上的椭圆为例，A，B两点在椭圆上，且中点D，那么〔或〕，同样可得双曲线上.抛物线上，；抛物线上，.〔自己推导印象更深，也可以体会函数思想〕

典例：

过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，假设是线段的中点，那么椭圆的离心率等于_____________.

2.抛物线的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点，直线AF,BF分别与抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为，那么〔〕

B.C.1D.2

设而不求.直线与椭圆或抛物线方程联立后，整理得到一个关于x的一元二次方程〔有时是y〕，由及直线方程可得到.有时求点的坐标可以直接用两根之积〔其中一个点).重要结论：垂直于轴的直线截椭圆或双曲线所得的弦长为〕.

典例：，椭圆C过点A，两个焦点为〔-1，0〕，〔1，0〕。

〔1〕求椭圆C的方程；

〔2〕E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

函数与方程的思想.方程的思想就是建立一个等量关系，得到两个或多个变量之间的关系，从而进一步化简或运算.

典例：

1.椭圆E的方程为，其右焦点为〔1,0〕，点P(1，〕在椭圆E上.

求椭圆E的方程；

过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于〔不同于点A的〕M,N两点，试判断直线MN与x轴的交点是否为定点？假设是，求出定点坐标；假设不是，请说明理由.

2.椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.

(I)求椭圆C的标准方程;

(II)假设直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

不等式技巧：

典例：

1椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A,B，右焦点为F，且,=1.

〔1〕求椭圆的标准方程；

〔2〕过椭圆的右焦点F作直线，，直线与椭圆分别交于点M,N，直线与椭圆分别交于点P,Q,且,求四边形MPNQ的面积S的最小值.

2.如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径．是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点．

〔Ⅰ〕求椭圆的方程；

〔Ⅱ〕求面积取最大值时直线的方程．

与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.

直线的斜率为，用表示点P的坐标；

假设过原点O的直线与垂直，证明：点P到直线的距离的最大值为.

4.椭圆C：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

求椭圆C的标准方程；

设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P,Q.

〔i〕证明：OT平分线段PQ〔其中O为坐标原点〕；

〔ii)当最小时，求点T的坐标.

导数技巧：〔这是在函数方法行不通时用的方法，一般涉及到高次或根式与绝对值相乘的形式〕

典例：1.椭圆C：，F(为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.

求椭圆C的方程；

直线l：与椭圆C交于A，B两点，假设线段AB中点P在直线上，求面积的最大值.

2.如图，抛物线E：与圆M:相交于A,B,C,D四个点.

求r的取值范围；

当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC,BD的交点P的坐标.

3.如图,椭圆C:(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程.

设法问题.〔在一些情况下尤其是文科抛物线时，设可以给计算带来简便，显示出极大的优势〕.

典例：

1.椭圆C：的焦距为，离心率为，其右焦点为F，过点B〔0，b〕作直线交椭圆于另一点A。

假设,求ABF外接圆的方程；；

假设过点M〔2,0〕的直线与椭圆N：相交于两点G，H设P为N上一点，且满足，当时，求实数t的取值范围.

2.椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.

求实数的取值范围；

求面积的最大值(O为坐标原点).

典型题

1.椭圆：的离心率为，其右焦点F与椭圆的左顶点的距离是3.两条直线交于点F，其斜率满足.设交椭圆于A,C两点，