2020年中考数学压轴解答题13 几何中的最值与定值问题 (学生版).pdfVIP

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专题13几何中的最值与定值问题

【类型综述】

线段和差的最值问题,常见的有两类：

第一类问题是“两点之间,线段最短”．

两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是

“两点之间,线段最短”结合“垂线段最短”．

【方法揭秘】

两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．

三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称

轴“反射镜面”（如图2）．

两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是

第三边的长．如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′．

解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题．

图1图2图3

如图4,正方形ABCD的边长为4,AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上,点Q在AB上,那么△BPQ周长

的最小值是多少呢？

如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE是河流,但是点Q不确定啊．

第一步,应用“两点之间,线段最短”．如图5,设点B关于“河流AE”的对称点为F,那么此刻PF＋PQ的最小值

是线段FQ．

第二步,应用“垂线段最短”．如图6,在点Q运动过程中,FQ的最小值是垂线段FH．

这样,因为点B和河流是确定的,所以点F是确定的,于是垂线段FH也是确定的．

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图4图5图6

【典例分析】

11,ABC8,ADBCD,DEABE.

【例】如图△是边长为的等边三角形⊥于点⊥于点

1AE3EB

（）求证：＝

2FAD,PBC,PE,PF,2,PEPFBP

（）若点是的中点点是边上的动点连接如图所示求＋的最小值及此时

的长；

32,EF,PEPF,PEF______.

（）在（）的条件下连接当＋取最小值时△的面积是

2

【例】问题探究



1请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P,使PAPC最小；



2②,PABCDBD,AB2,BC23,EBC,

如图点为矩形的对角线上一动点点为边的中点请作一点

P,PEPC,

使最小并求这个最小值；

问题解决



3③,1000ABCD,AC1200,BD,BCE

如图李师傅有一块边长为米的菱形采摘园米为小路的中点为一

,BDP,,PE

水池李师傅现在准备在小路上建一个游客临时休息纳