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高中不等式技巧总结

By信仰者

一．均值不等式

1

注：上述方法又被称为“”的代换。

注：遇到分母复杂的情况时，通常运用换元的方法使得分母变简便。

注：当利用两次不等式时一定要保持取等条件相同

注：此方法技巧性强，请读者慢慢体会，此题也可通过对称的角度快速求解。

注：拓展形式

二．柯西不等式

注：其拓展形式

注：。

注1：。

2

注：柯西不等式主要是配凑系数并验证是否取得等号。

三．权方和不等式（赫尔德不等式）

注：取等条件自行代入。

注：权方和不等式和柯西不等式一样在于巧妙地配凑。

四．判别式法

1xxt

注：判别式法以为主元，通过在实数范围内必有解进而求解的到参数的

取值范围。

2

注：此题虽然为非负实数，但我们可以利用判别式法在实数范围内求解，再寻

找取等条件，如果条件成立符合要求那么结果就成立。

注：观察式子为齐次，故通过相除来达到减元的目的

注1：此题可用于均值配凑，图形结合，也可平方化为齐次！

21.6

注：另外，例题也可用判别式法，不过要用多次且计算量大。

五．三角换元法

注：三角换元一般是基于三角函数本身有界性来解题的，其中辅助角公式很重

要。

注：三角换元在求解一些向量问题的时候会相当简便。

六．消元法

注：消元法是比较基础的方法之一，经常配合基本不等式与导数一起求解最值问

题，在没有其他方法时不失为一种好方法。

七．主元法（偏导法）

注：有时题目会对a，b，c的范围进行限制，但仍然可以用判别式法试一试，最

后再验证取等条件。

注：主元法就是第一个以x为主元求导，y看做常数即可，此解题步骤虽然不严

谨但对付高中题目绰绰有余。

八．拉格朗日乘数法

注：拉格朗日乘数法是解决此类题目的通法，但如遇到分式或根号形式时计算量

极大，很难算出正确答案，因此不建议使用。

九．对称法

注：此题可用于选择或判断快速解，当然也可用以上介绍的各种方法解。

十．数形结合（线性规划）

阿波罗尼斯圆

十一.绝对值不等式

十二.积分不等式

内容：定积分的几何意义与不等式相结合。

*

注：考试中即可直接写出中的不等式然后求导验证即可，此题也可用通项分析。

十三.泰勒（麦克劳林）展开构造不等式法

内容：

而我们需要拉格朗日余项

由此可以得出拉格朗日余项的正负决定不等式是＞或＜下面给出常见泰勒展开

由此可以对一些函数进行简单的放缩

注：其余同理可得。

十四.汇总习题

恭喜你完成了不等式的进阶学习！！！