2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期期中数学质量检测试题.docx

2024-2025学年黑龙江省牡丹江市高三上学期期中数学质量检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若，则（）

A B. C. D.

2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（）

A.16 B.30 C.32 D.51

3.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（）

A.尺 B.尺 C.尺 D.尺

5.若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.已知，是一元二次方程的两个根，则（）

A. B. C. D.

7.已知函数，若关于方程有实数解，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

8.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（）

A.4 B.5 C.6 D.7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量，，则（）

A.若，则 B.若，共线，则

C.不可能是单位向量 D.若，则

10.在等比数列中，，则（）

A.的公比为 B.的公比为2

C. D.数列递增数列

11.已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量满足，且，则________.

13.若，且，则__________.

14.设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且则实数λ的值为________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.

16.在锐角中，内角对边分别为，且.

（1）证明.

（2）若点在边上，且，求的取值范围.

17.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f′x的导数，表示的阶导数．

（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）

（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；

（3）已知，证明：．

18.某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．

（1）求及的分布列．

（2）写出与递推关系式，并证明为等比数列；

（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：?）

19.已知.

（1）求的定义域；

（2）若恒成立，求能够取得的最大整数值；

（3）证明.