第07讲 圆与对称性（5种题型）（解析版）.pdfVIP

第07讲圆与对称性（5种题型）

1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解

概念之间的区别和联系；

一．圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固

定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

（2）与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧．

（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．

二．点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d＝r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该

点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

三．垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

四．垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

五．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧

或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一

①②③

推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形

与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

一．圆的认识（共3小题）

1．（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）

A．3cmB．6cmC．1.5cmD．cm

【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．

【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，

∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．

故选：B．

【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等

圆、等弧等）．

2．（2022秋•江阴市校级月考）下列说法错误的是（）

A．直径是圆中最长的弦

B．半径相等的两个半圆是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆

D．半圆是圆中最长的弧

【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；

B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；

C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；

D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．

故选：D．

【点评】考查了圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．

3．（2022秋•启东市校级月考）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）

A．直径