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第四节多元函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数微分法
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推广到多元复合函数.一、复合函数微分法
1.中间变量是二元函数的情形其中定理4-4设函数、在点的偏导数都存在,函数在对应点可微，则复合函数在点处存在对、的偏导数,且
锁链式法则如图示(1)单链是导数关系,多链是偏导关系;(2)一条链之间,依次求导相乘;(3)各条链之间,求导后逐渐相加.注意上述运算法则对中间变量或自变量多于或少于两个的情形仍然适用.
解例4-21设,而，，求、.
例4-22设,求、.解令则
推论其中
例4-23设,其中,求、.解设,则由锁链法则
同理
即两者的区别2.中间变量既有一元函数又有二元函数的情形其中
例4-23设求、.解
全导数3.中间变量均为一元函数为的一元函数,对求导,得设可微,且,则复合函数
例4-24设,而，,求.解
解例4-25设而求.注意上式中与的区别!是全导数,是将z作为x的一元复合函数时的全部变化率;而是z对x的偏导数,是将z作为x、y的二元函数时z的变化率.
4、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.
例4-26.利用全微分形式不变性，解:所以设
一个方程所确定的隐函数及其导数1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C0时,能确定隐函数C0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:二、隐函数微分法
1、一元隐函数及其导数定理*.设函数则方程连续函数y=f(x),并有连续导数(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;且的某邻域内恒能唯一确定一在点的某一邻域内满足条件
两边对x求导在的某邻域内则
例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个连续可导隐函数解:令连续;由定理*可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在连续可且并求
两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导
定理4-5.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确2.二元隐函数的求导方法
两边对x求偏导同样可得则
解令则所以例4-27求由方程所确定的函数z的偏导数.
例4-28.设解法1利用隐函数求导再对x求导
解法2利用公式设则两边对x求偏导
例2.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用公式.确定的隐函数,则已知方程故
对方程两边求微分:解法2微分法.
主要内容1.复合函数求导(锁链法则)2.隐函数求导一元隐函数求导
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