中考数学圆知识点精讲打印.docVIP

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圆

知识点一、圆的定义及有关概念

1、圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

２、有关概念：弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距；等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例Ｐ为⊙O内一点,OP＝3ｃm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为＿_＿__＿＿＿；最长弦长为___＿_＿＿．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和ＯP垂直的弦,．

知识点二、平面内点和圆的位置关系

平面内点和圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内

当点在圆外时,dr；反过来,当dr时，点在圆外。

当点在圆上时,d＝ｒ；反过来，当ｄ=r时,点在圆上。

当点在圆内时,d＜r;反过来，当d＜r时,点在圆内。

例如图，在中，直角边,,点，分别是，的中点,以点为圆心,的长为半径画圆，则点在圆A的_＿_＿_____，点在圆A的＿__＿_＿＿__．

解题思路：利用点与圆的位置关系

练习：在直角坐标平面内,圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．

知识点三、圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例１如图,在半径为５cｍ的⊙Ｏ中,圆心O到弦ＡB的距离为３cm，则弦AB的长是()A.４cmB．６cｍC．８ｃmD．１０ｃm

例2、如图，Ａ、B、C、Ｄ是⊙O上的三点，∠BＡＣ=30°，则∠BＯC的大小是()

Ａ、６０°B、４5°C、3０°D、15°

例3、如图１和图2,MＮ是⊙O的直径，弦AB、ＣD相交于MN上的一点P,∠AＰM=∠ＣPＭ．

(1）由以上条件,你认为AB和ＣＤ大小关系是什么，请说明理由．

(２)若交点Ｐ在⊙Ｏ的外部，上述结论是否成立?若成立,加以证明；若不成立,请说明理由.

(１)(2)

解题思路:(1）要说明AB=CＤ,只要证明ＡB、CD所对的圆心角相等．

解:(1）AB＝CD

理由：

(2)作OE⊥AＢ,OF⊥ＣD，垂足为Ｅ、F

例４.如图，AB是⊙Ｏ的直径,BD是⊙O的弦,延长ＢＤ到Ｃ，使AC＝AＢ,BD与ＣＤ的大小有什么关系?为什么?

解题思路：BD＝CＤ，因为AＢ=AC，所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAＣ的平分线即可.

解:ＢD=CD

理由是：

知识点四、圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

５、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、Ｃ为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师，你将如何选址．

解题思路:连结AＢ、BＣ,作线段AB、BC的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置.

例２如图，点Ｏ是△AＢC的内切圆的圆心,若∠BAC=8０°,

则∠BＯC=(）

A．13０°B.100°C．5０°D.６5°

例３如图,Rt△AＢC，∠C=90°，ＡＣ=3cｍ,ＢC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为().

A．5ｃｍＢ．2.５cｍC.3cmD．４cｍ

解题思路:直角三角形外心的位置是斜边的中点

知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜ｒ；反过来，当ｄ＜r时，直线和圆相交。

当直线和圆相