算法及其推广.ppt

9.2EM算法的收敛性定理9.1设P(Y|θ)为观测数据的似然函数，(i=1,2,…)为EM算法得到的参数估计序列，则(i=1,2,…)为对应的似然函数序列，则是单调递增的，即第22页,共26页，5月，星期六，2024年，5月证明由于取对数有由令于是对数似然函数可以写成第23页,共26页，5月，星期六，2024年，5月只需证明右端为非负值即得出结果，由于使达到极大，所以有 其第二项，由 得出第24页,共26页，5月，星期六，2024年，5月定理9.2设L(θ)=logP(Y|θ)为观测数据的对数似然函数，(i=1,2,…)为EM算法得到的参数估计序列，(i=1,2,…)为对应的对数似然函数序列.（1）如果P(Y|θ)有上界，则收敛到某一值L*；（2）在函数与L(θ)满足一定条件下，由EM算法得到的参数估计序列的收敛值θ*是L(θ)的稳定点。定理9.2关于函数与L(θ)的条件在大多数情况下都是满足的.第25页,共26页，5月，星期六，2024年，5月*感谢大家观看第26页,共26页，5月，星期六，2024年，5月关于算法及其推广EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster等人总结提出，用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望；M步，求极大。所以这一算法称为期望极大算法（ExpectationMaximization）,简称EM算法。第2页,共26页，5月，星期六，2024年，5月极大似然估计极大似然估计是概率论在统计学中的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。第3页,共26页，5月，星期六，2024年，5月极大似然估计似然函数：已知样本集X,X是通过概率密度p(x|θ)抽取。样本集X中各个样本的联合概率：为了便于分析，由于L(θ)是连乘的，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的：第4页,共26页，5月，星期六，2024年，5月极大似然估计求极值可以转换为以下方程：θ的极大似然估计量表示为：第5页,共26页，5月，星期六，2024年，5月9.1EM算法的引入9.1.1 EM算法9.1.2 EM算法的导出9.1.3 EM算法在非监督学习中的应用9.2EM算法的收敛性第6页,共26页，5月，星期六，2024年，5月9.1.1EM算法例9.1（三硬币模型）假设有3枚硬币，分别记作A,B,C.这些硬币正面出现的概率分别是π,p,q.进行如下掷硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,1,1假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。第7页,共26页，5月，星期六，2024年，5月解三硬币模型可以写作y:观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0z:隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果θ：θ=(π,p,q)是模型参数第8页,共26页，5月，星期六，2024年，5月将观测数据表示为Y=(Y1,Y2,…,Yn)T,未观测数据表示为Z=(Z1,Z2,…,Zn)T,则观测数据的似然函数为 即考虑求模型参数θ=(π,p,q)的极大似然估计，即第9页,共26页，5月，星期六，2024年，5月EM算法首先选取参数的初值，记作，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为。EM算法的第i+1次迭代如下E步：计算在模型参数下观测数据yj来自掷硬币B的概率 那么观测数据yj来自硬币C的概率为1-μ(i+1)第10页,共26页，5月，星期六，2024年，5月M步：先写出期望然后分别求导，计算模型参数的新估计值第11页,共26页，5月，星期六，2024年，5月假设模型参数的初值