直线和平面所成的角的求法(学生版).doc

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直线和平面所成的角的求法

SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10例1如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，SKIPIF10ABC=45°，AB=2SKIPIF10，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

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（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．

变式练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，M是PB的中点。（1）求证：CM∥侧面PAD，(2)求直线CM与底面ABCD所成角

D

D

C

B

P

A

M

例2已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°

(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.



强化训练：

1．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．

（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．

4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．

（1）求证：EF⊥面PAB；

（2）若，求AC与面AEF所成的角．

6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；

（3）求点N到平面ACM的距离．

9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；

（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；

（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；

（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．

11．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．