《充要条件》教学设计二 (1).docVIP

高中数学精选资源

PAGE3/NUMPAGES3

《充要条件》教学设计二

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

回顾勾股定理及其逆定理.

勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理的逆定理如果个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角.

师：在初中数学中，我们学习过勾股定理及其逆定理，谁能表述一下这两个定理的内容？

学生回忆，思考并回答.

师：这两个命题显然都是真命题，也就是说，在勾股定理中，“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件.

在勾股定理的逆定理中，“三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件.

从学生熟悉的具体定理及其逆定理出发，通过分析定理及其逆定理，为引入充要条件的定义做好准备.

概念形成

一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作.

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题的p与q互为充要条件？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；

（4）若是空集，则A与B均为空集.

师生共同抽象概括出充要条件的定义，p是q的充要条件的其他表述：“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.

当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件

教师给出这四个命题，提出：

（1）这些命题中，哪些命题的p与q互为充要条件？

（2）如何判断p是q的充要条件？

学生先独立思考，然后交流讨论.

教师与学生共同梳理出判断充要条件的方法：将判断p是否为q的充要条件的问题转化为判断命题“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假的问题.

这四个命题中，命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题，所以命题的p与q互为充要条件；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题，所以命题（2）（3）中p与q不互为充要条件.

借助学生熟悉的数学命题，说明p对于q的充分性和p对于q的必要性之间的关系.理解p与q的充要条件就是“若p，则q”与“若q，则p”都为真命题，而这也是判断充要条件的方法.

概念深化

1.若，则p为q的充要条件，p唯一吗？请举例说明.

2.我们已经知道判定定理和充分条件、性质定理和必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？结合“什么样的四边形是平行四边形”说一说.

学生独立思考，举例，讨论交流.

教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，指明数学定义和充要条件的关系—数学定义是从充分性和必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画一个数学对象.

在充分条件、必要条件的基础上，进一步理解“充要条件”的概念，体会充要条件不唯一.通过举例分析，理解数学定义与充要条件的关系，进一步理解“充要条件”

应用举例

例在下列各题中，试判断p是q的什么条件：

（1）；

（2）；

（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形

学生独立完成，教师巡视，找三名学生回答，然后点评.

解：（1）因为命题“若，则”为真命题，并且“若，则”也为真命题，所以p是q的充要条件.

（2）因为“”“”，但是“”不能推出“”，例如，“”，而“”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件.

（3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

进一步巩固判断充要条件的方法.

课堂小结

1.请举例说明什么是充要条件.

2.请举例说明充要条件与数学定义的关系.

3.充要条件的判断方法是什么？

教师提出问题，让学生归纳总结.

以问题和举例的形式对本节课的内容和方法进行总结，让学生对本节课有更深刻的认识.

布置作业

教材第18页练习第1~3题.

学生课后独立完成，教师批阅.

巩固新知.

板书设计

第2课时充要条件

1.充要条件的定义：

一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作

p是q的充要条件的其他表述：“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”

当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件

2.充要条件的判断方法：

将判断p是否为q的充要条件