第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单） （学生版）-2024-2025学年八年级数学上册单元（北师大版）.pdf

第七章平行线的证明知识归纳与题型突破（九类题型清单）

01思维导图

02知识速记

一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.

要点：

（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）公认的真命题叫做公理.

(4)经过证明的真命题称为定理.

3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.

要点：

（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事

实、定理等.

（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

要点：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

四、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

03题型归纳

题型一命题与证明

例题

1．下列语句是命题的是（）

A．在线段AB上取点CB．作直线AB的垂线

C．垂线段最短吗？D．相等的角是对顶角

巩固训练

2．下列命题中，是真命题的是（）

A．互补的两个角是邻补角B．邻补角一定互为补角

C．两角相等，一定是对顶角D．无理数都是开方不尽的数

3．下列命题是假命题的是（）

A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余

C．全等三角形的周长相等D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，Qb^a，

\Ð1=90°．

Qc^a，

\Ð2=90°，

\Ð1=Ð2，

\b∥c.

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A．在同一平面内，若b^a，且c^a，则bPcB．在同一平面内，若bPc，且b^a，则c^a

C．两直线平行，同位角不相等D．两直线平行，同位角相等

题型二同位角、内错角与同旁内角

例题

5．下列所示的四个图形中，Ð1和Ð2是同位角的是（）

A．②③B．①②③