33.5.5 抽象函数-(人教A版2019必修第一册) (教师版) .pdfVIP

抽象函数

1概念

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.

2常见抽象函数模型

特殊模型抽象函数

()()()

正比例函数ᵅᵆ=ᵅᵆ(ᵆ≠0)ᵅᵆ+ᵆ=ᵅᵆ+ᵅ(ᵆ)

()

ᵆᵅᵆ

ᵯ

()())=

()ᵅᵆᵆ=ᵅᵆᵅ(ᵆ)或ᵅ(

幂函数ᵅᵆ=ᵆ

()

ᵆᵅᵆ

()

()()()ᵅᵆ

()ᵆ(ᵄ0且ᵄ≠1)ᵅᵆ+ᵆ=ᵅᵆᵅ(ᵆ)或ᵅᵆ−ᵆ=

指数函数ᵅᵆ=ᵄ

()

ᵅᵆ

()()ᵆ()

()ᵆ(ᵄ0且ᵄ≠1)ᵅᵆᵆ=ᵅᵆ+ᵅ(ᵆ)或ᵅ()=ᵅᵆ−ᵅ(ᵆ)

对数函数ᵅᵆ=log

ᵄ

ᵆ

【题型一】求值问题

【典题1】已知函数ᵅ(ᵆ)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意ᵆ,ᵆ∈(0,+∞)，都有ᵅ(ᵆᵆ)=ᵅ(ᵆ)+ᵅ(ᵆ)，

ᵅ(2)=1，求ᵅ(4),ᵅ(8).

【解析】∵对任意ᵆ，ᵆ∈(0,+∞)，都有ᵅ(ᵆᵆ)=ᵅ(ᵆ)+ᵅ(ᵆ)，ᵅ(2)=1，

∴ᵅ(4)=ᵅ(2×2)=ᵅ(2)+ᵅ(2)=2，

ᵅ(8)=ᵅ(2×4)=ᵅ(2)+ᵅ(4)=3．

【点拨】

①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；

()

()ᵆ型，由ᵅ(2)=1可知ᵅᵆ=logᵆ，

②抽象函数ᵅ(ᵆᵆ)=ᵅ(ᵆ)+ᵅ(ᵆ)是对数函数ᵅᵆ=log

ᵄ2

()()

则易得ᵅ4=2，ᵅ8=3，作选填题可取.又如ᵅ(ᵆ+ᵆ)=ᵅ(ᵆ)ᵅ(ᵆ)且ᵅ(1)=2，求ᵅ(3)；由ᵅ(ᵆ+ᵆ)